Kahe punkti vaheline kaugus nende koordinaatide järgi. Kaugus punktist punkti, valemid, näited, lahendused

Punktide vahekauguste arvutamine nende koordinaatide alusel tasapinnal on elementaarne, Maa pinnal on see veidi keerulisem: kaalume punktidevahelise kauguse ja esialgse asimuuti mõõtmist ilma projektsiooniteisendusteta. Esiteks mõistame terminoloogiat.

Sissejuhatus

Läbi sfääri pinnal oleva mis tahes kahe punkti, kui need ei ole üksteise vastas (st nad ei ole antipoodid), saab tõmmata ainulaadse suurringi. Kaks punkti jagavad suure ringi kaheks kaareks. Lühikese kaare pikkus on lühim vahemaa kahe punkti vahel. Kahe vastandpunkti vahele saab tõmmata lõpmatu arvu suuri ringe, kuid nende vaheline kaugus on igal ringil sama ja võrdne poole ringi ümbermõõduga ehk π*R, kus R on sfääri raadius.

Tasapinnal (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) kujutavad suured ringid ja nende fragmendid, nagu eespool mainitud, kaare kõigis projektsioonides, välja arvatud gnomoonilises projektsioonis, kus suured ringid on sirged. Praktikas tähendab see seda, et lennukid ja muud õhutranspordid kasutavad kütuse säästmiseks alati punktidevahelise minimaalse vahemaa marsruuti, see tähendab, et lend viiakse läbi suurel ringil, lennukil näeb see välja nagu kaar.

Maa kuju võib kirjeldada kui sfääri, seega on suurringi kaugusvõrrandid olulised Maa pinna punktide vahelise lühima kauguse arvutamiseks ja neid kasutatakse sageli navigatsioonis. Selle meetodi abil kauguse arvutamine on tõhusam ja paljudel juhtudel täpsem kui selle arvutamine projekteeritud koordinaatide jaoks (ristkülikukujulistes koordinaatsüsteemides), kuna esiteks ei nõua see geograafiliste koordinaatide teisendamist ristkülikukujuliseks koordinaatsüsteemiks (projektsiooniteisenduste teostamine) ja , teiseks võivad paljud projektsioonid, kui need on valesti valitud, põhjustada olulisi pikkusemoonutusi projektsioonimoonutuste olemuse tõttu. Teadaolevalt ei kirjelda Maa kuju täpsemalt mitte kera, vaid ellipsoid, kuid selles artiklis käsitletakse kauguste arvutamist konkreetselt sfääril, arvutusteks kasutatakse 6 372 795 meetri raadiusega kera. , mis võib põhjustada 0,5% suurust viga vahemaade arvutamisel.

Valemid

Minu rakendamine PHP-s

Matemaatika ülesannete lahendamisega kaasneb õpilaste jaoks sageli palju raskusi. Meie saidi peamine eesmärk on aidata õpilasel nende raskustega toime tulla, samuti õpetada neid rakendama olemasolevaid teoreetilisi teadmisi konkreetsete probleemide lahendamisel aine "Matemaatika" kõigis osades.

Teemakohaseid ülesandeid lahendama asudes peaksid õpilased oskama selle koordinaatide abil konstrueerida tasapinnale punkti, samuti leidma antud punkti koordinaate.

Kahe tasapinnal võetud punkti A(x A; y A) ja B(x B; y B) vaheline kaugus arvutatakse valemi abil d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kus d on lõigu pikkus, mis ühendab neid tasapinna punkte.

Kui lõigu üks otstest langeb kokku koordinaatide alguspunktiga ja teisel on koordinaadid M(x M; y M), siis on d arvutamise valem kujul OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Kahe punkti vahelise kauguse arvutamine nende punktide etteantud koordinaatide alusel

Näide 1.

Leidke koordinaattasandil punkte A(2; -5) ja B(-4; 3) ühendava lõigu pikkus (joonis 1).

Lahendus.

Ülesande avalduses on kirjas: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ja y B = 3. Leidke d.

Rakendades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2, saame:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Kolmest antud punktist võrdsel kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 2.

Leidke kolmest punktist A(7; -1) ja B(-2; 2) ning C(-1; -5) võrdsel kaugusel asuva punkti O 1 koordinaadid.

Lahendus.

Ülesande tingimuste sõnastusest järeldub, et O 1 A = O 1 B = O 1 C. Olgu soovitud punktil O 1 koordinaadid (a; b). Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Loome kahe võrrandi süsteemi:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pärast võrrandite vasaku ja parema külje ruudustamist kirjutame:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Lihtsustades kirjutame

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Olles lahendanud süsteemi, saame: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) on võrdsel kaugusel tingimuses määratud kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel. See punkt on kolme antud punkti läbiva ringi keskpunkt (Joonis 2).

3. Abstsissi (ordinaadi) arvutamine punktist, mis asub abstsissteljel (ordinaadi) teljel ja on antud punktist etteantud kaugusel

Näide 3.

Kaugus punktist B(-5; 6) punktini A, mis asub Härg-teljel, on 10. Leidke punkt A.

Lahendus.

Ülesande tingimuste sõnastusest järeldub, et punkti A ordinaat on võrdne nulliga ja AB = 10.

Tähistades punkti A abstsissi a-ga, kirjutame A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0–6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Saame võrrandi √((a + 5) 2 + 36) = 10. Seda lihtsustades saame

a 2 + 10a – 39 = 0.

Selle võrrandi juured on a 1 = -13; ja 2 = 3.

Saame kaks punkti A 1 (-13; 0) ja A 2 (3; 0).

Eksam:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mõlemad saadud punktid sobivad vastavalt ülesande tingimustele (joonis 3).

4. Abstsissi (ordinaadi) arvutamine punktis, mis asub abstsisstelje (ordinaat) teljel ja on kahest antud punktist samal kaugusel

Näide 4.

Leia Oy teljel punkt, mis on punktidest A (6, 12) ja B (-8, 10) samal kaugusel.

Lahendus.

Olgu ülesande tingimustega nõutava punkti Oy teljel koordinaadid O 1 (0; b) (Oy-teljel asuvas punktis on abstsiss null). Tingimusest järeldub, et O 1 A = O 1 B.

Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Meil on võrrand √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) või 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Pärast lihtsustamist saame: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4), mida nõuavad ülesande tingimused (joonis 4).

5. Koordinaatide telgedest ja mõnest antud punktist samal kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 5.

Leidke punkt M, mis asub koordinaattasandil koordinaattelgedest ja punktist A(-2; 1) samal kaugusel.

Lahendus.

Vajalik punkt M, nagu punkt A(-2; 1), asub teises koordinaatnurgas, kuna see on võrdsel kaugusel punktidest A, P 1 ja P 2 (Joonis 5). Punkti M kaugused koordinaatide telgedest on samad, seetõttu on selle koordinaadid (-a; a), kus a > 0.

Ülesande tingimustest järeldub, et MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

need. |-a| = a.

Kasutades valemit d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) leiame:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Teeme võrrandi:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Pärast ruudustamist ja lihtsustamist saame: a 2 – 6a + 5 = 0. Lahenda võrrand, leia a 1 = 1; ja 2 = 5.

Saame kaks punkti M 1 (-1; 1) ja M 2 (-5; 5), mis vastavad ülesande tingimustele.

6. Abstsissi (ordinaat) teljest ja antud punktist samal kindlaksmääratud kaugusel asuva punkti koordinaatide arvutamine

Näide 6.

Leidke punkt M, mille kaugus ordinaatteljest ja punktist A(8; 6) on võrdne 5-ga.

Lahendus.

Ülesande tingimustest järeldub, et MA = 5 ja punkti M abstsiss on võrdne 5-ga. Olgu punkti M ordinaat võrdne b-ga, siis M(5; b) (joonis 6).

Vastavalt valemile d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) saame:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Teeme võrrandi:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Seda lihtsustades saame: b 2 – 12b + 20 = 0. Selle võrrandi juured on b 1 = 2; b 2 = 10. Järelikult on kaks punkti, mis vastavad ülesande tingimustele: M 1 (5; 2) ja M 2 (5; 10).

Teatavasti vajavad paljud õpilased iseseisvalt probleeme lahendades pidevaid konsultatsioone nende lahendamise tehnikate ja meetodite osas. Tihtipeale ei leia õpilane võimalust probleemi lahendamiseks ilma õpetaja abita. Õpilane saab vajalikku nõu probleemide lahendamiseks meie kodulehelt.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas leida tasapinna kahe punkti vaheline kaugus?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Tasapinna kahe punkti vaheline kaugus.
Koordinaatide süsteemid

Tasapinna iga punkti A iseloomustavad selle koordinaadid (x, y). Need langevad kokku punktist 0 väljuva vektori 0A koordinaatidega - koordinaatide alguspunktist.

Olgu A ja B tasandi suvalised punktid koordinaatidega (x 1 y 1) ja (x 2, y 2).

Siis on vektoril AB ilmselgelt koordinaadid (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On teada, et vektori pikkuse ruut võrdub selle koordinaatide ruutude summaga. Seetõttu määratakse tingimusest punktide A ja B vaheline kaugus d või, mis on sama, vektori AB pikkus.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Saadud valem võimaldab teil leida kauguse tasapinna mis tahes kahe punkti vahel, kui on teada ainult nende punktide koordinaadid

Iga kord, kui räägime tasapinna konkreetse punkti koordinaatidest, peame silmas täpselt määratletud koordinaatide süsteemi x0y. Üldiselt saab tasapinna koordinaatsüsteemi valida erineval viisil. Seega võib x0y koordinaatsüsteemi asemel kaaluda x"0y" koordinaatsüsteemi, mis saadakse vanade koordinaatide telgede pööramisel ümber lähtepunkti 0 vastupäeva nooled nurgal α .

Kui koordinaatsüsteemis x0y tasandi teatud punktil olid koordinaadid (x, y), siis uues koordinaatsüsteemis x"0y" on sellel erinevad koordinaadid (x, y").

Vaatleme näiteks punkti M, mis asub 0x-teljel ja on punktist 0 eraldatud 1 kaugusel.

Ilmselgelt on x0y koordinaatsüsteemis sellel punktil koordinaadid (cos α , patt α ) ja x"0y" koordinaatide süsteemis on koordinaadid (1,0).

Tasapinna A ja B mis tahes kahe punkti koordinaadid sõltuvad sellest, kuidas koordinaatide süsteem sellel tasapinnal on määratud. Kuid nende punktide vaheline kaugus ei sõltu koordinaatsüsteemi määramise meetodist. Kasutame seda olulist asjaolu järgmises lõigus märkimisväärselt ära.

Harjutused

I. Leidke koordinaatidega tasapinna punktide vahelised kaugused:

1) (3.5) ja (3.4); 3) (0,5) ja (5, 0); 5) (-3,4) ja (9, -17);

2) (2, 1) ja (- 5, 1); 4) (0, 7) ja (3,3); 6) (8, 21) ja (1, -3).

II. Leidke kolmnurga ümbermõõt, mille küljed on antud võrranditega:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ja y = 1.

III. Koordinaadisüsteemis x0y on punktidel M ja N vastavalt koordinaadid (1, 0) ja (0,1). Leidke nende punktide koordinaadid uues koordinaatsüsteemis, mis saadakse vanade telgede pööramisel ümber alguspunkti 30° vastupäeva.

IV. Koordinaadisüsteemis x0y on punktidel M ja N koordinaadid (2, 0) ja (\ / vastavalt 3/2, - 1/2). Leidke nende punktide koordinaadid uues koordinaatsüsteemis, mis saadakse vanade telgede pööramisel ümber alguspunkti 30° päripäeva.

Tere,

Kasutatud PHP:

Lugupidamisega Aleksander.

Tere,

Olen juba mõnda aega maadelnud probleemiga: proovin arvutada kaugust kahe suvalise punkti vahel, mis asuvad üksteisest 30–1500 meetri kaugusel.

Kasutatud PHP:

$cx=31,319738; //x esimese punkti koordinaat
$cy = 60,901638; //y esimese punkti koordinaat

x = 31,333312; //x teise punkti koordinaat
$y = 60,933981; //y teise punkti koordinaat

$mx=abs($cx-$x); //arvutame erinevuse x (täisnurkse kolmnurga esimene jalg), funktsioon abs(x) - tagastab arvu x x mooduli
$minu=abs($cy-$y); //arvuta mängijate vahe (täisnurkse kolmnurga teine ​​jalg)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("allikas":"

Tere,

Olen juba mõnda aega maadelnud probleemiga: proovin arvutada kaugust kahe suvalise punkti vahel, mis asuvad üksteisest 30–1500 meetri kaugusel.

Kasutatud PHP:

$cx=31,319738; //x esimese punkti koordinaat
$cy = 60,901638; //y esimese punkti koordinaat

x = 31,333312; //x teise punkti koordinaat
$y = 60,933981; //y teise punkti koordinaat

$mx=abs($cx-$x); //arvutame erinevuse x (täisnurkse kolmnurga esimene jalg), funktsioon abs(x) - tagastab arvu x x mooduli
$minu=abs($cy-$y); //arvuta mängijate vahe (täisnurkse kolmnurga teine ​​jalg)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

Tere,

Olen juba mõnda aega maadelnud probleemiga: proovin arvutada kaugust kahe suvalise punkti vahel, mis asuvad üksteisest 30–1500 meetri kaugusel.

Kasutatud PHP:

$cx=31,319738; //x esimese punkti koordinaat
$cy = 60,901638; //y esimese punkti koordinaat

x = 31,333312; //x teise punkti koordinaat
$y = 60,933981; //y teise punkti koordinaat

$mx=abs($cx-$x); //arvutame erinevuse x (täisnurkse kolmnurga esimene jalg), funktsioon abs(x) - tagastab arvu x x mooduli
$minu=abs($cy-$y); //arvuta mängijate vahe (täisnurkse kolmnurga teine ​​jalg)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"vana","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"Kol 27. juuni 2012 20:07:00 GMT +0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("allikas":"

Tere,

Olen juba mõnda aega maadelnud probleemiga: proovin arvutada kaugust kahe suvalise punkti vahel, mis asuvad üksteisest 30–1500 meetri kaugusel.

Kasutatud PHP:

$cx=31,319738; //x esimese punkti koordinaat
$cy = 60,901638; //y esimese punkti koordinaat

x = 31,333312; //x teise punkti koordinaat
$y = 60,933981; //y teise punkti koordinaat

$mx=abs($cx-$x); //arvutame erinevuse x (täisnurkse kolmnurga esimene jalg), funktsioon abs(x) - tagastab arvu x x mooduli
$minu=abs($cy-$y); //arvuta mängijate vahe (täisnurkse kolmnurga teine ​​jalg)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

","html":"Tere,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("allikas":"

Tere,

Olen juba mõnda aega maadelnud probleemiga: proovin arvutada kaugust kahe suvalise punkti vahel, mis asuvad üksteisest 30–1500 meetri kaugusel.

Kasutatud PHP:

$cx=31,319738; //x esimese punkti koordinaat
$cy = 60,901638; //y esimese punkti koordinaat

x = 31,333312; //x teise punkti koordinaat
$y = 60,933981; //y teise punkti koordinaat

$mx=abs($cx-$x); //arvutame erinevuse x (täisnurkse kolmnurga esimene jalg), funktsioon abs(x) - tagastab arvu x x mooduli
$minu=abs($cy-$y); //arvuta mängijate vahe (täisnurkse kolmnurga teine ​​jalg)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

","html":"Tere,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"sildid":[("displayName":"kauguse mõõtmine","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1" -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true,"url": "/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl":"/blog/ createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrchapi:"/capt/blog/new:"/capt/blog/ ","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":"/blog/post/generateSlug ","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","urlRemovePost/unpublish","urlRemovePost/5d45":"15c8d45" removePost","urlDraft":"/blog/ mapsapi /15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft","urlTag/Suggest"//"urlTag/Suggestmaps":/" " ,"urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog/api/unsubscribe/56a98d48b3115b758e urlEditPosti leht ":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/updateIssue","urlpost" /updateTranslate ","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi","/15001" autor" :("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"aliased":(),"login":" mrdds" ,kuva_nimi":("nimi":"mrdds","avatar":("vaikimisi":"0/0-0","tühi":tõene)),,"aadress":" [e-postiga kaitstud]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig)))))">

Kahe punkti vahelise kauguse määramine AINULT longlat koordinaatide abil.

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($minu,2)); //Määrake kaugus metroosse (hüpotenuusi pikkus vastavalt reeglile, hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa juurega)

Kui see pole selge, lubage mul selgitada: ma kujutan ette, et kahe punkti vaheline kaugus on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Siis on mõlema punkti X-i erinevus üks jaotus ja teine ​​​​jalg on sama kahe punkti Y-de erinevus. Seejärel, arvutades X-i ja Y-i erinevusi, saate valemi abil arvutada hüpotenuusi pikkuse (st kahe punkti vahelise kauguse).

Ma tean, et see reegel toimib hästi Descartes'i koordinaatide süsteemi jaoks, kuid see peaks enam-vähem toimima läbi longlat koordinaatide, sest mõõdetud kaugus kahe punkti vahel on tühine (30 kuni 1500 meetrit).

Selle algoritmi järgi arvutatud kaugus on aga valesti (näiteks selle algoritmi järgi arvutatud kaugus 1 ületab kaugust 2 vaid 13% võrra, samas kui tegelikkuses on kaugus 1 võrdne 1450 meetriga ja kaugus 2 970 meetriga, et on tegelikult erinevus peaaegu 50% ).

Kui keegi oskab aidata, oleksin väga tänulik.

Lugupidamisega Aleksander.

Käesolevas artiklis vaatleme võimalusi, kuidas teoreetiliselt ja konkreetsete ülesannete näitel määrata kaugust punktist punktini. Alustuseks tutvustame mõningaid määratlusi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Punktide vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus olemasoleval skaalal. Pikkusühiku mõõtmiseks on vaja määrata skaala. Seetõttu lahendatakse punktidevahelise kauguse leidmise probleem põhimõtteliselt, kasutades nende koordinaate koordinaatjoonel, koordinaattasandil või kolmemõõtmelises ruumis.

Algandmed: koordinaatjoon O x ja sellel asuv suvaline punkt A. Igal punktil sirgel on üks reaalarv: olgu see punkti A jaoks kindel arv x A, see on ka punkti A koordinaat.

Üldiselt võib öelda, et teatud lõigu pikkust hinnatakse võrreldes lõiguga, mis on võetud antud skaalal pikkuseühikuna.

Kui punkt A vastab täisarvulisele reaalarvule, eraldades järjestikku punktist O punkti piki sirgjoont O A lõigud - pikkuseühikud, saame eraldatud ühikuliste segmentide koguarvust määrata lõigu O A pikkuse.

Näiteks punkt A vastab numbrile 3 - punktist O sinna jõudmiseks peate koondama kolm ühikusegmenti. Kui punktil A on koordinaat - 4, on ühikulõigud paigutatud sarnaselt, kuid erinevas negatiivses suunas. Seega on esimesel juhul kaugus O A võrdne 3-ga; teisel juhul O A = 4.

Kui punkti A koordinaadiks on ratsionaalarv, siis joonistame lähtepunktist (punktist O) ühikuliste lõikude täisarvu ja seejärel selle vajaliku osa. Kuid geomeetriliselt ei ole alati võimalik mõõta teha. Näiteks tundub, et murdosa 4 111 joonistamine koordinaatjoonele on keeruline.

Ülaltoodud meetodit kasutades on täiesti võimatu joonistada irratsionaalarvu sirgele. Näiteks kui punkti A koordinaat on 11. Sel juhul on võimalik pöörduda abstraktsiooni poole: kui punkti A antud koordinaat on suurem kui null, siis O A = x A (kauguseks võetakse arv); kui koordinaat on väiksem kui null, siis O A = - x A . Üldiselt on need väited tõesed mis tahes reaalarvu x A kohta.

Kokkuvõtteks: kaugus lähtepunktist punktini, mis vastab reaalarvule koordinaatjoonel, on võrdne:

• 0, kui punkt kattub lähtepunktiga;

• x A, kui x A > 0;

• - x A, kui x A< 0 .

Sel juhul on ilmne, et lõigu enda pikkus ei saa olla negatiivne, seetõttu kirjutame mooduli märgi abil koordinaadiga punktist O punkti A kauguse xA: O A = x A

Järgmine väide vastab tõele: kaugus ühest punktist teise on võrdne koordinaatide erinevuse mooduliga. Need. punktide A ja B jaoks, mis asuvad mis tahes asukoha jaoks samal koordinaatjoonel ja millel on vastavad koordinaadid xA Ja x B: A B = x B - x A .

Algandmed: punktid A ja B, mis asuvad tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y etteantud koordinaatidega: A (x A, y A) ja B (x B, y B).

Joonestame punktide A ja B kaudu ristid koordinaattelgedele O x ja O y ning saame selle tulemusena projektsioonipunktid: A x, A y, B x, B y. Sõltuvalt punktide A ja B asukohast on võimalikud järgmised valikud:

Kui punktid A ja B langevad kokku, on nende vaheline kaugus null;

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti O x teljega (abstsisstell), siis punktid langevad kokku ja | A B | = | A y B y | . Kuna punktide vaheline kaugus on võrdne nende koordinaatide erinevuse mooduliga, siis A y B y = y B - y A ja seega A B = A y B y = y B - y A.

Kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti O y teljega (ordinaattelg) - analoogselt eelmise lõiguga: A B = A x B x = x B - x A

Kui punktid A ja B ei asu sirgel, mis on risti ühe koordinaatteljega, leiame nendevahelise kauguse arvutusvalemi tuletamise teel:

Näeme, et kolmnurk A B C on ehituselt ristkülikukujuline. Sel juhul A C = A x B x ja B C = A y B y. Kasutades Pythagorase teoreemi loome võrdsuse: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ja seejärel teisendame selle: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Saadud tulemusest teeme järelduse: kaugus punktist A punkti B tasapinnal määratakse arvutamise teel, kasutades valemit, kasutades nende punktide koordinaate

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Saadud valem kinnitab ka eelnevalt moodustatud väiteid punktide või olukordade kokkulangemise juhtudel, kui punktid asuvad telgedega risti asetsevatel sirgtel. Seega, kui punktid A ja B langevad kokku, kehtib järgmine võrdsus: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Olukorras, kus punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti x-teljega:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Juhul, kui punktid A ja B asuvad sirgel, mis on risti ordinaatteljega:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Algandmed: ristkülikukujuline koordinaatide süsteem O x y z, millel asuvad suvalised punktid antud koordinaatidega A (x A, y A, z A) ja B (x B, y B, z B). On vaja kindlaks määrata nende punktide vaheline kaugus.

Vaatleme üldist juhust, kui punktid A ja B ei asu ühe koordinaattasandiga paralleelsel tasapinnal. Joonestame läbi punktide A ja B koordinaattelgedega risti olevad tasapinnad ja saame vastavad projektsioonipunktid: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Punktide A ja B vaheline kaugus on saadud rööptahuka diagonaal. Selle rööptahuka mõõtude konstruktsiooni järgi: A x B x , A y B y ja A z B z

Geomeetria kursusest teame, et rööptahuka diagonaali ruut on võrdne selle mõõtmete ruutude summaga. Selle väite põhjal saame võrdsuse: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Kasutades varem tehtud järeldusi, kirjutame järgmise:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Teisendame väljendit:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Lõplik valem ruumipunktide vahelise kauguse määramiseks näeb välja selline:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Saadud valem kehtib ka juhtudel, kui:

Punktid langevad kokku;

Need asuvad ühel koordinaatteljel või sirgel, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega.

Näited ülesannete lahendamisest punktidevahelise kauguse leidmisel

Algandmed: on antud koordinaatjoon ja sellel asuvad punktid antud koordinaatidega A (1 - 2) ja B (11 + 2). On vaja leida kaugus lähtepunktist O punktini A ning punktide A ja B vahel.

Lahendus

1. Kaugus võrdluspunktist punktini on võrdne selle punkti koordinaadi mooduliga, vastavalt O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Punktide A ja B vahelise kauguse määratleme nende punktide koordinaatide erinevuse moodulina: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Vastus: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Näide 2

Algandmed: on antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja kaks sellel asuvat punkti A (1, - 1) ja B (λ + 1, 3). λ on mingi reaalarv. On vaja leida kõik selle arvu väärtused, mille juures kaugus A B on võrdne 5-ga.

Lahendus

Punktide A ja B vahelise kauguse leidmiseks peate kasutama valemit A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Asendades tegelikud koordinaatide väärtused, saame: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Kasutame ka olemasolevat tingimust, et A B = 5 ja siis on võrdsus tõene:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Vastus: A B = 5, kui λ = ± 3.

Näide 3

Algandmed: ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y z on määratud kolmemõõtmeline ruum ja selles asuvad punktid A (1, 2, 3) ja B - 7, - 2, 4.

Lahendus

Ülesande lahendamiseks kasutame valemit A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Asendades reaalväärtused, saame: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Vastus: | A B | = 9

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter