Умножение на корени с различни показатели онлайн. Умножаване на корени: основни правила

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с една и съща основа се изваждат техните показатели:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. При повдигане на корен на степен е достатъчно радикалното число да се повдигне на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се вдигне реално число Адо степента м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Коренови формули. Свойства на квадратния корен.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват формули за кореникакво са свойства на корените, и какво може да се направи с всичко това.

Формули на корените, свойства на корените и правила за работа с корени- това е по същество едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което определено ме радва! Или по-скоро можете да напишете много различни формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много хора се объркват в трите коренни формули, да...

Да започнем с най-простия. Ето я:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

1. Коренът на степен от произведение на неотрицателни числа е равен на произведението на корени на същата степен от множители: където (правилото за извличане на корен от произведение).

2. Ако , то y (правилото за извличане на корен от дроб).

3. Ако тогава (правилото за извличане на корен от корен).

4. Ако тогава правилото за повдигане на корена на степен).

5. Ако тогава къде, т.е. показателят на корена и показателят на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число.

6. Ако тогава е 0, т.е. по-голям положителен радикален израз съответства на по-голяма стойност на корена.

7. Всички горни формули често се прилагат в обратен ред (т.е. отдясно наляво). Например,

(правило за умножение на корените);

(правило за разделяне на корена);

8. Правилото за премахване на множителя под знака за корен. При

9. Обратната задача е въвеждане на множител под знака на корена. Например,

10. Отстраняване на ирационалност в знаменателя на дроб.

Нека да разгледаме някои типични случаи.

Например,

11. Приложение на тъждества със съкратено умножение към операции с аритметични корени:

12. Факторът пред корена се нарича негов коефициент. Например тук 3 е коефициентът.

13. Корените (радикалите) се наричат подобни, ако имат еднакви коренни индекси и еднакви радикални изрази и се различават само по коефициента. За да прецените дали тези корени (радикали) са подобни или не, трябва да ги редуцирате до най-простата им форма.

Например, и са подобни, тъй като

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯ

1. Опростете изразите:

Решение. 1) Няма смисъл да се умножава радикалният израз, тъй като всеки от множителите представлява квадрат на цяло число. Нека използваме правилото за извличане на корена на продукт:

В бъдеще ще извършваме такива действия устно.

2) Нека се опитаме, ако е възможно, да представим радикалния израз като произведение на фактори, всеки от които е куб на цяло число, и да приложим правилото за корена на продукта:

2. Намерете стойността на израза:

Решение. 1) Според правилото за извличане на корен от дроб имаме:

3) Трансформирайте радикалните изрази и извлечете корена:

3. Опростете кога

Решение. При извличане на корен от корен, индикаторите на корените се умножават, но радикалният израз остава непроменен

Ако има коефициент пред корена, разположен под корена, тогава преди да извършите операцията по извличане на корена, въведете този коефициент под знака на радикала, пред който се появява.

Въз основа на горните правила, нека извлечем последните два корена:

4. Повдигнете на степен:

Решение. При повдигане на корен на степен, показателят на корена остава непроменен, а показателите на радикалния израз се умножават по показателя.

(тъй като е дефинирано, тогава);

Ако даден корен има коефициент, тогава този коефициент се повдига на степен отделно и резултатът се записва като коефициент на корена.

Тук използвахме правилото, че индикаторът на корена и индикаторът на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число (ние умножихме по, т.е. разделихме на 2).

Например, или

4) Изразът в скоби, представляващ сумата от два различни радикала, е кубичен и опростен:

Тъй като имаме:

5. Елиминирайте ирационалността в знаменателя:

Решение. За да премахнете (унищожите) ирационалността в знаменателя на дроб, трябва да намерите най-простия израз, който в продукт със знаменател дава рационален израз, и да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по намерения фактор.

Например, ако знаменателят на дроб съдържа бином, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да бъдат умножени по израза, спрегнат на знаменателя, тоест сборът трябва да бъде умножен по съответната разлика и обратно.

В по-сложните случаи ирационалността не се унищожава веднага, а на няколко етапа.

1) Изразът трябва да съдържа

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по, получаваме:

2) Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по частичния квадрат на сумата, получаваме:

3) Нека приведем дробите към общ знаменател:

Когато решаваме този пример, трябва да имаме предвид, че всяка дроб има значение, тоест знаменателят на всяка дроб е различен от нула. Освен това,

При преобразуване на изрази, съдържащи радикали, често се допускат грешки. Те са причинени от невъзможността да се приложи правилно концепцията (дефиницията) за аритметичен корен и абсолютна стойност.

Правила за умножение на корени

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много „не много. »
И за тези, които „много. ")

Да започнем с най-простия. Ето я:

Нека ви напомня (от предишния урок): a и b са неотрицателни числа! В противен случай формулата няма смисъл.

Това е свойство на корените, както виждате, е просто, кратко и безобидно. Но има толкова много страхотни неща, които можете да направите с тази коренна формула! Нека да разгледаме примеривсички тези полезни неща.

Първото полезно нещо. Тази формула ни позволява умножете корени.

Как да умножим корените?

Да, много просто. Направо към формулата. Например:

Изглежда, че са го умножили, какво от това? Много ли е радостта?! Съгласен съм, малко. Как ви харесва това пример?

Корените не се извличат точно от факторите. И резултатът е отличен! Така е по-добре, нали? За всеки случай нека ви кажа, че може да има колкото желаете множители. Формулата за умножение на корени все още работи. Например:

И така, с умножението всичко е ясно, защо е необходимо това? свойство на корените- също разбираемо.

Второто нещо е полезно. Въвеждане на число под знака на корена.

Как да въведете число под корена?

Да приемем, че имаме този израз:

Възможно ли е да скриете двойката в корена? Лесно! Ако направите корен от две, формулата за умножение на корени ще работи. Как можете да направите корен от две? Да, също няма въпрос! Две е корен квадратен от четири!

Между другото, корен може да се направи от всяко неотрицателно число! Това ще бъде корен квадратен от това число. 3 е коренът от 9. 8 е коренът от 64. 11 е коренът от 121. Е, и така нататък.

Разбира се, няма нужда да се описва толкова подробно. Е, като за начало. Достатъчно е да разберете, че всяко неотрицателно число, умножено по корена, може да бъде добавено под корена. Но не забравяйте! - под корена това число ще стане квадратсебе си. Това действие - въвеждане на число под корена - може да се нарече и умножаване на числото по корена. Най-общо можем да напишем:

Процедурата е проста, както виждате. Защо е необходимо?

Като всяка трансформация, тази процедура разширява нашите възможности. Възможности да превърнете едно жестоко и неудобно изражение в меко и пухкаво). Ето един прост за вас пример:

Както виждаш, свойство на корените,което ви позволява да въведете множител под знака на корена, е доста подходящо за опростяване.

В допълнение, добавянето на фактор към корена улеснява сравняването на стойностите на различни корени. Без никакви изчисления или калкулатор! Третото полезно нещо.

Как да сравним корените?

Това умение е много важно при сериозни задачи, при разкриване на модули и други готини неща.

Сравнете тези изрази. Коя е по-голяма? Без калкулатор! Всеки с калкулатор. ъ-ъ-ъ. Накратко, всеки може да го направи!)

Не можете да кажете това веднага. Ами ако въведете числа под знака на корена?

Да си припомним (ами ако не сте знаели?): ако числото под знака на корена е по-голямо, значи и самият корен е по-голям! Оттук веднага правилният отговор, без никакви сложни изчисления и изчисления:

Страхотно, нали? Но това не е всичко! Не забравяйте, че всички формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Досега използвахме формулата за умножение на корени отляво надясно. Нека изпълним това свойство на корените в обратен ред, отдясно наляво. Като този:

И каква е разликата? Това дава ли нещо? Със сигурност! Сега ще видите сами.

Да предположим, че трябва да извадим (без калкулатор!) корен квадратен от числото 6561. Някои хора на този етап ще изпаднат в неравна борба със задачата. Но ние сме упорити, не се отказваме! Четвъртото полезно нещо.

Как да извлечем корени от големи числа?

Нека си припомним формулата за извличане на корени от продукт. Този, който написах малко по-горе. Но къде ни е работата!? Имаме огромно число 6561 и това е. Да, работата не е тук. Но ако имаме нужда, ще го направим Хайде да го направим! Нека разложим това число на множители. Имаме право.

Първо, нека разберем на какво точно се дели това число? Какво, не знаете!? Забравихте ли признаците за делимост!? Напразно. Отидете на специален раздел 555, тема „Дроби“, те са там. Това число се дели на 3 и 9. Защото сумата от числата (6+5+6+1=18) се дели на тези числа. Това е един от признаците за делимост. Не е нужно да делим на три (сега ще разберете защо), но ще разделим на 9. Поне в някой ъгъл. Получаваме 729. Значи намерихме два фактора! Първият е девет (сами го избрахме), а вторият е 729 (така се оказа). Вече можете да пишете:

Схващате ли идеята? Ще направим същото с числото 729. То също се дели на 3 и 9. Ние не делим отново на 3, а на 9. Получаваме 81. И ние знаем това число! Записваме:

Всичко се оказа лесно и елегантно! Коренът трябваше да се извлича парче по парче, но добре. Това може да се направи с всякакви големи числа. Умножете ги и давайте напред!

Между другото, защо не трябваше да делиш на 3? Да, защото коренът от три не може да се извлече точно! Има смисъл да се включи в такива фактори, че коренът да може да се извлече добре от поне един. Това са 4, 9, 16 и т.н. Разделете огромното си число на тези числа едно по едно и ще имате късмет!

Но не е задължително. Може да нямате късмет. Да кажем, че числото 432, разложено на множители и използвайки коренната формула за продукта, ще даде следния резултат:

Ми добре. Както и да е, ние опростихме израза. В математиката е обичайно да се оставя най-малкото възможно число под корена. В процеса на решаване всичко зависи от примера (може би всичко може да бъде съкратено без опростяване), но в отговора трябва да дадете резултат, който не може да бъде допълнително опростен.

Между другото, знаете ли какво направихме с рута на 432?

Ние извади факторите изпод знака на корена ! Ето как се нарича тази операция. В противен случай ще получите задача - “ премахнете фактора от под знака на корена„Но мъжете дори не знаят.) Ето още едно приложение за вас свойства на корените.Полезно нещо пето.

Как да премахнете множителя изпод корена?

Лесно. Факторизирайте радикалния израз и извлечете корените, които са извлечени. Нека видим:

Нищо свръхестествено. Важно е да изберете правилните множители. Тук сме разширили 72 като 36·2. И всичко се оказа добре. Или можеха да го разширят по различен начин: 72 = 6·12. И какво!? Коренът не може да бъде извлечен нито от 6, нито от 12. Какво да правя?!

Всичко е наред. Или потърсете други опции за разлагане, или продължете да разлагате всичко, докато спре! Като този:

Както можете да видите, всичко се получи. Това, между другото, не е най-бързият, но най-надеждният начин. Разделете числото на най-малките множители и след това съберете същите на купчини. Методът се използва успешно и при умножаване на неудобни корени. Например, трябва да изчислите:

Умножете всичко - получавате лудо число! И как тогава да извлечем корена от него?! Да го извадя отново? Не, нямаме нужда от допълнителна работа. Незабавно го разделяме на фактори и събираме идентични в групи:

Това е всичко. Разбира се, не е необходимо да се разширява докрай. Всичко се определя от вашите лични способности. Доведохме примера до точката, в която всичко ти е ясноТова означава, че вече можем да броим. Основното нещо е да не правите грешки. Не човек за математика, а математика за човека!)

Да приложим знанията на практика? Да започнем с нещо просто:

СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,

СИЛОВА ФУНКЦИЯ IV

§ 82. Умножение и деление на корени

1. Умножителни корени.В § 79 правилото за умножаване на корени с идентиченпоказатели:

За да се умножат корени с различни индикатори, те трябва първо да бъдат доведени до общ индикатор и след това да се умножат като корени със същите индикатори.

Нека, например, трябва да умножите н √ а На м √ b . Използвайки теорема 3 от §80, можем да напишем:

Например √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Като общ показател за корените н √ а На м √ b Най-удобно е да изберете най-малкото общо кратно на числата н И м . Например, ако трябва да умножите 4 √ 2 по 6 √ 32, тогава е удобно да изберете числото 12, което е най-малкото общо кратно на числата 4 и 6, като общ индикатор за тези корени.

Теорема 3 § 80 дава: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Разделяне на корените.В § 79 е получено правило за деление на корени с еднакви показатели:

За да се разделят корени с различни показатели, те трябва първо да бъдат доведени до общ индикатор и след това да бъдат разделени като корени с еднакви показатели.

oldskola1.narod.ru

Умножаване на корени: основни правила

Поздрави, котки! Последния път обсъдихме подробно какво представляват корените (ако не си спомняте, препоръчвам да го прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция на корените, която трябва да знаете. Другото са глупости и загуба на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно - и да започваме :)

И ти още не си го пушил, нали?

Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:

Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачката сякаш намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.

Тогава нека да разгледаме обратната ситуация: има един голям корен, но ние бяхме нетърпеливи да го представим като продукт на два по-прости корена. Защо е необходимо това е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение да преминат направо към втората част, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Същите, които са обозначени като $\sqrt$ и $\sqrt $. Всичко им е очевидно:

Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто умножете техните радикални изрази и запишете резултата под общия радикал:

Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.

Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:

Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример ние самите щяхме да извлечем корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt $ и $\sqrt $ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.

Бих искал специално да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.

Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножаване. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.

Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Погледни:

И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.

Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме по-общ случай - когато коренният показател съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.

Случаят на произволен индикатор

И така, подредихме квадратните корени. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, премахваме десетичната дроб и в крайна сметка знаменателят е произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз лично не мога да разбера на какво се равнява отгоре на главата ми.

Така че просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:

Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че помнете:

Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?

Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат точните степени от упор. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)

Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни степени

Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt $ по някакви глупости като $\sqrt $? Възможно ли е изобщо да се направи това?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна бележка, към която ще се върнем малко по-късно.

Засега нека да разгледаме няколко примера:

Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим :)

Умножаването на корени е лесно

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, можете да бъдете като училищни учители и да цитирате учебника с умен поглед:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо подобно: „Изискването за неотрицателност се свързва с *#&^@(*#@^#)

%" - накратко, този път не разбрах нищо. :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:

С други думи, можем лесно да повдигнем радикалния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай показателят на степента на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:

Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:

Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:

Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

Но тогава се оказва някаква глупост:

Това не може да се случи, защото $\sqrt \lt 0$ и $\sqrt \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:

Да се удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант :)

Но не се тревожете! На практика това ограничение не засяга изчисленията по никакъв начин, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.

Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:

Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $\sqrt$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:

Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да квадратирате/махнете, докато посинеете - числото ще остане отрицателно :)

По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:

Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)

Добре? Ще тренираме ли?

Пример 1: Опростете израза:

Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.

Пример 2: Опростете израза:

Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3: Опростете израза:

Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:

Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикалност. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например можете да направите това:

Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.

Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt \cdot \sqrt $. Сега може да се напише много по-просто:

Отнемане на шофьорска книжка в нетрезво състояние през 2018 г. Шофирането в нетрезво състояние е едно от най-сериозните нарушения на правилата за движение. Закон от 23 юли 2013 г. № 196-FZ […]