Как се обозначава средната линия на трапеца? Н. Никитин Геометрия
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Цели на урока:
1) запознайте учениците с концепцията за средната линия на трапец, разгледайте неговите свойства и ги докажете;
2) научете как да изграждате средната линия на трапеца;
3) развиват способността на учениците да използват дефиницията на средната линия на трапец и свойствата на средната линия на трапец при решаване на проблеми;
4) продължават да развиват способността на учениците да говорят компетентно, като използват необходимите математически термини; докажете своята гледна точка;
5) развиват логическо мислене, памет, внимание.
По време на часовете
1. Домашните се проверяват по време на урока. Домашното беше устно, запомнете:
а) определение на трапец; видове трапец;
б) определяне на средната линия на триъгълника;
в) свойство на средната линия на триъгълник;
г) признак на средната линия на триъгълника.
2. Изучаване на нов материал.
а) На дъската е изобразен трапец ABCD.
б) Учителят ви моли да запомните определението за трапец. Всяко бюро има подсказка, която да ви помогне да запомните основните понятия в темата „Трапец“ (вижте Приложение 1). Към всяко гише се издава Приложение 1.
Учениците чертаят в тетрадките си трапеца ABCD.
в) Учителят ви моли да си спомните в коя тема се среща понятието средна линия („Средна линия на триъгълник“). Учениците си припомнят определението за средна линия на триъгълник и нейните свойства.
д) Запишете дефиницията на средната линия на трапеца, като я начертаете в тетрадка.
Средна линияТрапецът е отсечка, свързваща средните точки на страните му.
Свойството на средната линия на трапец остава недоказано на този етап, така че следващият етап от урока включва работа по доказване на свойството на средната линия на трапец.
Теорема. Средната линия на трапеца е успоредна на основите му и е равна на тяхната полусума.
дадени: ABCD – трапец,
MN – средна линия ABCD
Докажи, Какво:
1.пр.н.е. || MN || от н.е.
2. MN = (AD + BC).
Можем да запишем някои следствия, които следват от условията на теоремата:
AM = MB, CN = ND, BC || от н.е.
Невъзможно е да се докаже това, което се изисква само въз основа на изброените свойства. Системата от въпроси и упражнения трябва да доведе учениците до желанието да свържат средната линия на трапец със средната линия на някакъв триъгълник, чиито свойства вече знаят. Ако няма предложения, тогава можете да зададете въпроса: как да конструирате триъгълник, за който сегментът MN ще бъде средната линия?
Нека запишем допълнителна конструкция за един от случаите.
Нека начертаем права BN, пресичаща продължението на страната AD в точка K.
Появяват се допълнителни елементи - триъгълници: ABD, BNM, DNK, BCN. Ако докажем, че BN = NK, това ще означава, че MN е средната линия на ABD и тогава можем да използваме свойството на средната линия на триъгълник и да докажем необходимото.
Доказателство:
1. Помислете за BNC и DNK, те съдържат:
а) CNB =DNK (свойство на вертикалните ъгли);
б) BCN = NDK (свойство на вътрешните напречни ъгли);
в) CN = ND (последствие от условията на теоремата).
Това означава BNC =DNK (отстрани и два съседни ъгъла).
Q.E.D.
Доказателството може да се направи устно в час, а може да се възстанови и запише в тетрадка у дома (по преценка на учителя).
Необходимо е да се каже за други възможни начини за доказване на тази теорема:
1. Начертайте един от диагоналите на трапеца и използвайте знака и свойството на средната линия на триъгълника.
2. Извършете CF || BA и разгледайте успоредника ABCF и DCF.
3. Извършете EF || BA и разгледайте равенството на FND и ENC.
ж) На този етап се задава домашна работа: параграф 84, изд. Атанасян Л.С. (доказателство за свойството на средната линия на трапец чрез векторен метод), запишете го в тетрадката си.
з) Решаваме задачи, като използваме определението и свойствата на средната линия на трапец, като използваме готови чертежи (виж Приложение 2). Приложение 2 се дава на всеки ученик, а решението на задачите е изписано на същия лист в кратка форма.
- Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите
- Триъгълниците, образувани от основите на трапец и отсечките на диагоналите до пресечната им точка, са подобни
- Триъгълниците, образувани от сегменти на диагоналите на трапец, чиито страни лежат на страничните страни на трапеца - са еднакви по размер (имат еднаква площ)
- Ако разширите страните на трапеца към по-малката основа, тогава те ще се пресичат в една точка с правата линия, свързваща средните точки на основите
- Сегмент, свързващ основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя от тази точка в пропорция, равна на съотношението на дължините на основите на трапеца
- Отсечка, успоредна на основите на трапеца и прекарана през точката на пресичане на диагоналите, е разделена наполовина от тази точка и нейната дължина е равна на 2ab/(a + b), където a и b са основите на трапец
Свойства на отсечка, свързваща средината на диагоналите на трапец
Нека свържем средите на диагоналите на трапеца ABCD, в резултат на което ще имаме отсечка LM.
Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец лежи на средната линия на трапеца.
Този сегмент успоредни на основите на трапеца.
Дължината на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на неговите основи.
LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2
Свойства на триъгълниците, образувани от диагоналите на трапец
Триъгълници, образувани от основите на трапеца и пресечната точка на диагоналите на трапеца - са подобни.
Триъгълниците BOC и AOD са подобни. Тъй като ъглите BOC и AOD са вертикални, те са равни.
Ъгли OCB и OAD са вътрешни ъгли, кръстосани на успоредни прави AD и BC (основите на трапеца са успоредни една на друга) и секуща AC, следователно са равни.
Ъглите OBC и ODA са равни по същата причина (вътрешни на кръст).
Тъй като и трите ъгъла на един триъгълник са равни на съответните ъгли на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.
Какво следва от това?
За решаване на проблеми в геометрията сходството на триъгълниците се използва, както следва. Ако знаем дължините на два съответстващи елемента на подобни триъгълници, тогава намираме коефициента на подобие (разделяме единия на другия). Откъдето дължините на всички други елементи са свързани помежду си с точно същата стойност.
Свойства на триъгълници, лежащи на странична страна и диагонали на трапец
Да разгледаме два триъгълника, лежащи на страничните страни на трапеца AB и CD. Това са триъгълници AOB и COD. Въпреки факта, че размерите на отделните страни на тези триъгълници могат да бъдат напълно различни, но площите на триъгълниците, образувани от страничните страни и пресечната точка на диагоналите на трапеца, са равни, тоест триъгълниците са еднакви по размер.
Ако разширим страните на трапеца към по-малката основа, тогава точката на пресичане на страните ще бъде съвпадат с права линия, която минава през средата на основите.
Така всеки трапец може да бъде разширен в триъгълник. при което:
- Триъгълниците, образувани от основите на трапец с общ връх в точката на пресичане на разширените страни, са подобни
- Правата линия, свързваща средните точки на основите на трапеца, в същото време е медианата на построения триъгълник
Свойства на отсечка, свързваща основите на трапец
Ако начертаете сегмент, чиито краища лежат върху основите на трапец, който се намира в точката на пресичане на диагоналите на трапеца (KN), тогава съотношението на неговите съставни сегменти от страната на основата до точката на пресичане на диагоналите (KO/ON) ще бъде равно на отношението на основите на трапеца(пр. н. е./сл. н. е.).
KO/ON = BC/AD
Това свойство следва от сходството на съответните триъгълници (виж по-горе).
Свойства на отсечка, успоредна на основите на трапец
Ако начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, тогава той ще има следните свойства:
- Определено разстояние (км) разполовена от пресечната точка на диагоналите на трапеца
- Дължина на сегментаминаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца и успоредна на основите е равна на KM = 2ab/(a + b)
Формули за намиране на диагонали на трапец
а, б- трапецовидни основи
c,d- страни на трапеца
d1 d2- диагонали на трапец
α β - ъгли с по-голяма основа на трапеца
Формули за намиране на диагоналите на трапец през основите, страните и ъглите в основата
Първата група формули (1-3) отразява едно от основните свойства на диагоналите на трапеца:
1. Сборът от квадратите на диагоналите на трапец е равен на сбора от квадратите на страните плюс два пъти произведението на неговите основи. Това свойство на диагоналите на трапеца може да се докаже като отделна теорема
2 . Тази формула се получава чрез трансформиране на предишната формула. Квадратът на втория диагонал се прехвърля през знака за равенство, след което квадратният корен се извлича от лявата и дясната страна на израза.
3 . Тази формула за намиране на дължината на диагонала на трапец е подобна на предишната, с тази разлика, че друг диагонал е оставен от лявата страна на израза
Следващата група формули (4-5) са близки по смисъл и изразяват подобна връзка.
Групата формули (6-7) ви позволява да намерите диагонала на трапец, ако са известни по-голямата основа на трапеца, едната странична страна и ъгълът при основата.
Формули за намиране на диагоналите на трапец по височина
Задача.
Диагоналите на трапеца ABCD (AD | | BC) се пресичат в точка O. Намерете дължината на основата BC на трапеца, ако основата AD = 24 cm, дължина AO = 9 cm, дължина OS = 6 cm.
Решение.
Решението на този проблем е абсолютно идентично като идеология с предишните проблеми.
Триъгълниците AOD и BOC са подобни в три ъгъла - AOD и BOC са вертикални, а останалите ъгли са равни по двойки, тъй като се образуват от пресичането на една права и две успоредни прави.
Тъй като триъгълниците са подобни, всичките им геометрични размери са свързани помежду си, точно както геометричните размери на познатите ни сегменти AO и OC според условията на задачата. Това е
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/пр.н.е
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Отговор: 16 см
Задача .
В трапеца ABCD е известно, че AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Намерете площта на трапеца. 
Решение .
За да намерим височината на трапец от върховете на по-малката основа B и C, спускаме две височини към по-голямата основа. Тъй като трапецът е неравен, означаваме дължина AM = a, дължина KD = b ( да не се бърка с обозначението във формулатанамиране на площта на трапец). Тъй като основите на трапеца са успоредни и сме пуснали две височини, перпендикулярни на по-голямата основа, тогава MBCK е правоъгълник.
Средства
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Триъгълниците DBM и ACK са правоъгълни, така че техните прави ъгли се образуват от височините на трапеца. Нека означим височината на трапеца с h. След това, по Питагоровата теорема
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
И
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Нека вземем предвид, че a = 16 - b, тогава в първото уравнение
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Нека заместим стойността на квадрата на височината във второто уравнение, получено с помощта на Питагоровата теорема. Получаваме:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Така че KD = 12
Където
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Намерете площта на трапеца през неговата височина и половината от сбора на основите
, където a b - основата на трапеца, h - височината на трапеца
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Отговор: площта на трапеца е 80 cm2.
Концепцията за средната линия на трапеца
Първо, нека си спомним каква фигура се нарича трапец.
Определение 1
Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са успоредни.
В този случай успоредните страни се наричат основи на трапеца, а неуспоредните страни се наричат странични страни на трапеца.
Определение 2
Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на страничните страни на трапеца.
Теорема за средната линия на трапец
Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме с помощта на векторния метод.
Теорема 1
Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.
Доказателство.
Нека ни е даден трапец $ABCD$ с основи $AD\ и\ BC$. И нека $MN$ е средната линия на този трапец (фиг. 1).
Фигура 1. Средна линия на трапец
Нека докажем, че $MN||AD\ и\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Помислете за вектора $\overrightarrow(MN)$. След това използваме правилото на полигона, за да добавим вектори. От една страна разбираме това
От друга страна
Нека съберем последните две равенства и ще получим
Тъй като $M$ и $N$ са средните точки на страничните страни на трапеца, ще имаме
Получаваме:
Следователно
От същото равенство (тъй като $\overrightarrow(BC)$ и $\overrightarrow(AD)$ са съпосочни и следователно колинеарни) получаваме, че $MN||AD$.
Теоремата е доказана.
Примерни задачи върху понятието средна линия на трапец
Пример 1
Страничните страни на трапеца са съответно $15\ cm$ и $17\ cm$. Периметърът на трапеца е $52\cm$. Намерете дължината на средната линия на трапеца.
Решение.
Нека означим средната линия на трапеца с $n$.
Сборът на страните е равен на
Следователно, тъй като периметърът е $52\ cm$, сумата от основите е равна на
И така, по теорема 1 получаваме
Отговор:$10\cm$.
Пример 2
Краищата на диаметъра на окръжността са съответно $9$ cm и $5$ cm. Намерете диаметъра на тази окръжност.
Решение.
Нека ни е дадена окръжност с център в точка $O$ и диаметър $AB$. Нека начертаем допирателна $l$ и построим разстоянията $AD=9\ cm$ и $BC=5\ cm$. Нека начертаем радиуса $OH$ (фиг. 2).
Фигура 2.
Тъй като $AD$ и $BC$ са разстоянията до допирателната, тогава $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и тъй като $OH$ е радиусът, тогава $OH\bot l$, следователно $OH |\ляво|AD\дясно||BC$. От всичко това получаваме, че $ABCD$ е трапец, а $OH$ е неговата средна линия. По теорема 1 получаваме
Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделни елементи от това. Например диагоналът на равнобедрен трапец, централната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма .
Главна информация
Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигура е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоид.
Нека се върнем на трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две успоредни страни. Те се наричат бази. Другите две (непаралелни) са страничните страни. В материалите за изпити и различни тестове често можете да намерите задачи, свързани с трапеци, чието решение често изисква ученикът да има знания, които не са предвидени в програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равнобедрен трапец. Но в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях малко по-късно...
Видове трапец
Има много разновидности на тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.
1. Правоъгълен трапец е фигура, на която една от страните е перпендикулярна на основите. Двата й ъгъла винаги са равни на деветдесет градуса.
2. Равнобедрен трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.
Основните принципи на методологията за изследване на свойствата на трапец
Основният принцип включва използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (за предпочитане системни). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат възложени на учениците в един или друг момент от учебния процес. Освен това всяко свойство на трапец може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.
Вторият принцип е така наречената спирална организация на изследването на „забележителните“ свойства на трапеца. Това предполага връщане в учебния процес към индивидуалните характеристики на дадена геометрична фигура. Това улеснява учениците да ги запомнят. Например свойството на четири точки. Може да се докаже както при изучаване на сходството, така и впоследствие с помощта на вектори. И еквивалентността на триъгълници, съседни на страничните страни на фигура, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с равни височини, начертани към страните, които лежат на една и съща права линия, но и чрез използване на формулата S = 1/2( ab*sinα). Освен това можете да работите върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху вписан трапец и т.н.
Използването на „извънкласни“ характеристики на геометрична фигура в съдържанието на училищен курс е базирана на задача технология за тяхното преподаване. Постоянното позоваване на свойствата, които се изучават, докато преминават през други теми, позволява на учениците да придобият по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на възложените проблеми. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.
Елементи и свойства на равнобедрен трапец
Както вече отбелязахме, тази геометрична фигура има равни страни. Известен е още като правилен трапец. Защо е толкова забележително и защо получи такова име? Особеността на тази фигура е, че не само страните и ъглите в основите са равни, но и диагоналите. Освен това сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само равнобедреният може да бъде описан като кръг. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е равна на 180 градуса и само при това условие може да се опише кръг около четириъгълник. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от върха на основата до проекцията на противоположния връх върху правата линия, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.
Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Нека разгледаме решение на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.
Решение
Обикновено четириъгълникът обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че размерът им е равен на X, а размерите на основите са равни на Y и Z (съответно по-малък и по-голям). За да извършите изчислението, е необходимо да изчертаете височината H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малката от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y)/2 = F. Сега, за да изчислим острата ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β) = X/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (X/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим втория, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.
Има второ решение на този проблем. Първо го спускаме от ъгъла до височина H. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катетите. Получаваме: BN = √(X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β = арктан (BN/F). Открит е остър ъгъл. След това го дефинираме подобно на първия метод.
Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец
Първо, нека напишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:
Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;
Височината и средната му линия са равни;
Центърът на кръга е точката, в която ;
Ако страничната страна е разделена от точката на допиране на сегменти H и M, тогава тя е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти;
Четириъгълникът, образуван от точките на допиране, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;
Площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.
Подобни трапеци
Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на този Например диагоналите разделят трапец на четири триъгълника, като прилежащите към основите са подобни, а прилежащите към страните са равни по размер. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част на това твърдение се доказва чрез знака за подобие на два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода, даден по-долу.
Доказателство на теоремата
Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS са основите на трапеца) е разделена на диагонали VD и AC. Точката на тяхното пресичане е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD отстрани. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Откриваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Следователно PSOD = PBOS/K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS/PAOB = CO/OA = K и PAOB = PBOS/K. От това следва, че PSOD = PAOB.
За консолидиране на материала се препоръчва на учениците да намерят връзката между областите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали, като решат следния проблем. Известно е, че триъгълниците BOS и AOD имат равни площи; необходимо е да се намери площта на трапеца. Тъй като PSOD = PAOB, това означава PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. От подобието на триъгълници BOS и AOD следва, че BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следователно PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD = √(PBOS*PAOD). Тогава PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Свойства на подобие
Продължавайки да развиваме тази тема, можем да докажем други интересни характеристики на трапеца. По този начин, използвайки подобие, може да се докаже свойството на сегмент, който минава през точката, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта нека решим следната задача: трябва да намерим дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От подобието на триъгълници AOD и BOS следва, че AO/OS = AD/BS. От подобието на триъгълници AOP и ASB следва, че AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=BS*BP/(BS+BP). По същия начин от сходството на триъгълници DOC и DBS следва, че OK = BS*AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Сегмент, минаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основите и свързващи две странични страни, се разделя наполовина от точката на пресичане. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на фигурата.
Разгледайте следното свойство на трапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечната точка на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и F) винаги лежат на една и съща права. Това може лесно да се докаже чрез метода на подобието. Получените триъгълници BES и AED са подобни и във всеки от тях медианите ET и EJ разделят ъгъла на върха E на равни части. Следователно точките E, T и F лежат на една права линия. По същия начин точките T, O и Zh са разположени на една и съща права. Всичко това следва от подобието на триъгълниците BOS и AOD. От тук заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и F - ще лежат на една и съща права линия.
Използвайки подобни трапеци, можете да помолите учениците да намерят дължината на сегмента (LS), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са подобни, тогава BS/LF = LF/AD. От това следва, че LF=√(BS*AD). Откриваме, че отсечката, разделяща трапеца на две еднакви има дължина, равна на средната геометрична от дължините на основите на фигурата.
Разгледайте следното свойство на подобие. Тя се основава на сегмент, който разделя трапеца на две равни фигури. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EH на две подобни. От връх B е пропусната височина, която се разделя от отсечка EN на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 и PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, а второто (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. От това следва, че B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Откриваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължините на основите: √((BS2+AD2)/2).
Констатации за сходство
Така ние доказахме, че:
1. Отсечката, свързваща средите на страничните страни на трапеца, е успоредна на AD и BS и е равна на средноаритметичното на BS и AD (дължината на основата на трапеца).
2. Правата, минаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Отсечката, разделяща трапеца на подобни има дължина на средната геометрична на основите BS и AD.
4. Елемент, разделящ фигура на две равни, има дължината на средния квадрат на числата AD и BS.
За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги конструира за конкретен трапец. Той може лесно да покаже средната линия и отсечката, която минава през точка O - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредни на основите. Но къде ще бъдат разположени третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.
Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец
Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем точките на пресичане Ш и Ш Този сегмент ще бъде равен на половината от разликата на основите. Нека разгледаме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABS, равна е на BS/2. MSH е средната линия на триъгълник ABD, равна е на AD/2. Тогава получаваме, че ShShch = MSh-MSh, следователно ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Център на тежестта
Нека да разгледаме как се определя този елемент за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Трябва да добавите долната основа към горната основа - във всяка посока, например надясно. И удължаваме долната по дължината на горната вляво. След това ги свързваме диагонално. Пресечната точка на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.
Вписани и описани трапеци
Нека изброим характеристиките на такива фигури:
1. Трапецът може да бъде вписан в окръжност само ако е равнобедрен.
2. Трапец може да се опише около окръжност, при условие че сборът от дължините на техните основи е равен на сбора от дължините на страните.
Следствия от вписаната окръжност:
1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.
2. Страната на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.
Първото следствие е очевидно, но за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът SOD е прав, което всъщност също не е трудно. Но познаването на това свойство ще ви позволи да използвате правоъгълен триъгълник при решаване на проблеми.
Сега нека уточним тези последствия за равнобедрен трапец, вписан в окръжност. Откриваме, че височината е средната геометрична на основите на фигурата: H=2R=√(BS*AD). Упражнявайки основната техника за решаване на задачи за трапец (принципа на чертане на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрената фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегментите AT и TD. Използвайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно да се направи.
Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Спускаме височината от върха B до основата AD. Тъй като окръжността е вписана в трапец, тогава BS+AD = 2AB или AB = (BS+AD)/2. От триъгълник ABN намираме sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Получаваме PABSD = (BS+BP)*R, от което следва, че R = PABSD/(BS+BP).
Всички формули за средна линия на трапец
Сега е време да преминем към последния елемент от тази геометрична фигура. Нека разберем на какво е равна средната линия на трапеца (M):
1. През основите: M = (A+B)/2.
2. Чрез височина, основа и ъгли:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. През височина, диагонали и ъгъл между тях. Например D1 и D2 са диагоналите на трапец; α, β - ъгли между тях:
M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.
4. Проходна площ и височина: M = P/N.
Зареждане...
