Пряка и обратна пропорционалност. Пряка пропорционална зависимост

Днес ще разгледаме кои количества се наричат обратно пропорционални, как изглежда графиката на обратната пропорционалност и как всичко това може да ви бъде полезно не само в часовете по математика, но и извън училище.

Толкова различни пропорции

Пропорционалностназови две величини, които са взаимно зависими една от друга.

Зависимостта може да бъде пряка и обратна. Следователно връзките между количествата се описват чрез пряка и обратна пропорционалност.

Пряка пропорционалност– това е такава връзка между две величини, при която увеличаването или намаляването на едно от тях води до увеличаване или намаляване на другото. Тези. отношението им не се променя.

Например, колкото повече усилия полагате, за да учите за изпити, толкова по-високи са оценките ви. Или колкото повече неща вземете със себе си на поход, толкова по-тежка ще е раницата ви за носене. Тези. Размерът на усилията, изразходвани за подготовка за изпити, е право пропорционален на получените оценки. А броят на нещата, опаковани в една раница, е право пропорционален на нейното тегло.

Обратна пропорционалност– това е функционална зависимост, при която намаляване или увеличаване с няколко пъти на независима стойност (нарича се аргумент) предизвиква пропорционално (т.е. същия брой пъти) увеличение или намаляване на зависима стойност (нарича се функция).

Нека илюстрираме с един прост пример. Искате да купите ябълки на пазара. Ябълките на тезгяха и количеството пари в портфейла ви са в обратна пропорция. Тези. Колкото повече ябълки купите, толкова по-малко пари ще ви останат.

Функция и нейната графика

Функцията на обратната пропорционалност може да се опише като y = k/x. В който х≠ 0 и к≠ 0.

Тази функция има следните свойства:

Неговата област на дефиниция е множеството от всички реални числа с изключение на х = 0. д(г): (-∞; 0) U (0; +∞).
Диапазонът е всички реални числа, с изключение на г= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Няма максимални или минимални стойности.
Той е нечетен и неговата графика е симетрична спрямо началото.
Непериодични.
Неговата графика не пресича координатните оси.
Няма нули.
Ако к> 0 (т.е. аргументът нараства), функцията намалява пропорционално на всеки от своите интервали. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
С нарастването на аргумента ( к> 0) отрицателните стойности на функцията са в интервала (-∞; 0), а положителните стойности са в интервала (0; +∞). Когато аргументът намалее ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графиката на функцията на обратната пропорционалност се нарича хипербола. Показва се както следва:

Задачи на обратната пропорционалност

За да стане по-ясно, нека разгледаме няколко задачи. Те не са много сложни и решаването им ще ви помогне да си представите какво е обратна пропорционалност и как това знание може да ви бъде полезно в ежедневието.

Задача No1. Автомобил се движи със скорост 60 км/ч. Отне му 6 часа, за да стигне до местоназначението си. Колко време ще му отнеме да измине същото разстояние, ако се движи с двойно по-голяма скорост?

Можем да започнем, като запишем формула, която описва връзката между време, разстояние и скорост: t = S/V. Съгласете се, това много ни напомня за функцията на обратната пропорционалност. И това показва, че времето, което една кола прекарва на пътя, и скоростта, с която се движи, са обратно пропорционални.

За да проверим това, нека намерим V 2, което според условието е 2 пъти по-високо: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. След това изчисляваме разстоянието по формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е трудно да разберете времето t 2, което се изисква от нас според условията на проблема: t 2 = 360/120 = 3 часа.

Както можете да видите, времето за пътуване и скоростта наистина са обратно пропорционални: при скорост 2 пъти по-висока от първоначалната скорост, колата ще прекара 2 пъти по-малко време на пътя.

Решението на тази задача може да се запише и като пропорция. Така че нека първо създадем тази диаграма:

↓ 60 км/ч – 6 часа

↓120 км/ч – x ч

Стрелките показват обратно пропорционална връзка. Те също така предполагат, че когато се съставя пропорция, дясната страна на записа трябва да бъде обърната: 60/120 = x/6. Къде получаваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.

Задача No2. В цеха работят 6 работници, които могат да свършат зададен обем работа за 4 часа. Ако броят на работниците бъде намален наполовина, колко време ще отнеме на останалите работници, за да извършат същото количество работа?

Нека запишем условията на проблема под формата на визуална диаграма:

↓ 6 работници – 4 часа

↓ 3 работници – x h

Нека запишем това като пропорция: 6/3 = x/4. И получаваме x = 6 * 4/3 = 8 часа. Ако има 2 пъти по-малко работници, останалите ще прекарат 2 пъти повече време, за да свършат цялата работа.

Задача No3. В басейна има две тръби. По една тръба водата тече със скорост 2 l/s и пълни басейна за 45 минути. Чрез друга тръба басейнът ще се напълни за 75 минути. С каква скорост навлиза водата в басейна през тази тръба?

Като начало, нека намалим всички количества, дадени ни според условията на задачата, до едни и същи мерни единици. За целта изразяваме скоростта на пълнене на басейна в литри в минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Тъй като условието предполага, че басейнът се пълни по-бавно през втората тръба, това означава, че скоростта на водния поток е по-ниска. Пропорционалността е обратна. Нека изразим неизвестната скорост чрез x и начертаем следната диаграма:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ x l/min – 75 min

И след това съставяме пропорцията: 120/x = 75/45, откъдето x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

В задачата скоростта на пълнене на басейна е изразена в литри в секунда; нека да редуцираме получения отговор до същия вид: 72/60 = 1,2 l/s.

Задача No4. Малка частна печатница печата визитки. Служител на печатница работи със скорост от 42 визитки на час и работи на пълен работен ден - 8 часа. Ако работи по-бързо и отпечата 48 визитни картички за час, колко по-рано би могъл да се прибере?

Следваме доказания път и съставяме диаграма според условията на проблема, като обозначаваме желаната стойност като x:

↓ 42 визитки/час – 8 часа

↓ 48 визитни картички/ч – x ч

Имаме обратно пропорционална връзка: колкото пъти повече визитни картички отпечатва един служител на печатница за час, толкова пъти по-малко време ще му е необходимо, за да свърши същата работа. Знаейки това, нека създадем пропорция:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.

Така, след като свърши работата за 7 часа, служителят на печатницата можеше да се прибере час по-рано.

Заключение

Струва ни се, че тези проблеми с обратната пропорционалност са наистина прости. Надяваме се, че сега и вие мислите за тях по този начин. И най-важното е, че знанията за обратно пропорционалната зависимост на количествата наистина могат да ви бъдат полезни повече от веднъж.

Не само в часовете и изпитите по математика. Но дори и тогава, когато се приготвите да тръгнете на път, да пазарувате, решите да спечелите малко повече пари през празниците и т.н.

Кажете ни в коментарите какви примери за обратна и права пропорционалност забелязвате около вас. Нека бъде такава игра. Ще видите колко е вълнуващо. Не забравяйте да споделите тази статия в социалните мрежи, за да могат вашите приятели и съученици също да играят.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Пропорционалността е връзка между две величини, при която промяната на едната води до промяна на другата със същата величина.

Пропорционалността може да бъде пряка и обратна. В този урок ще разгледаме всеки от тях.

Съдържание на урока

Пряка пропорционалност

Да приемем, че колата се движи със скорост 50 km/h. Спомняме си, че скоростта е изминатото разстояние за единица време (1 час, 1 минута или 1 секунда). В нашия пример колата се движи със скорост 50 км/ч, тоест за един час ще измине разстояние от петдесет километра.

Нека изобразим на фигурата разстоянието, изминато от автомобила за 1 час.

Оставете колата да кара още един час със същата скорост от петдесет километра в час. Тогава се оказва, че колата ще измине 100 км

Както се вижда от примера, удвояването на времето доведе до увеличаване на изминатото разстояние със същото количество, тоест два пъти.

Величини като време и разстояние се наричат правопропорционални. И връзката между такива количества се нарича пряка пропорционалност.

Пряката пропорционалност е връзката между две величини, при която увеличаването на едната води до увеличаване на другата със същата стойност.

и обратното, ако едната величина намалее определен брой пъти, то другата намалява със същия брой пъти.

Да приемем, че първоначалният план е бил да измина кола 100 км за 2 часа, но след като измина 50 км, шофьорът реши да си почине. Тогава се оказва, че като намалим разстоянието наполовина, времето ще намалее със същото количество. С други думи, намаляването на изминатото разстояние ще доведе до намаляване на времето със същото количество.

Интересна особеност на правопропорционалните величини е, че тяхното отношение винаги е постоянно. Тоест, когато стойностите на пряко пропорционалните количества се променят, съотношението им остава непроменено.

В разглеждания пример разстоянието първоначално е 50 км, а времето е един час. Съотношението на разстоянието към времето е числото 50.

Но ние увеличихме времето за пътуване 2 пъти, правейки го равно на два часа. В резултат на това изминатото разстояние се увеличи със същото количество, тоест стана равно на 100 км. Съотношението сто километра към два часа отново е числото 50

Числото 50 се нарича коефициент на пряка пропорционалност. Показва колко разстояние има за час движение. В този случай коефициентът играе ролята на скорост на движение, тъй като скоростта е съотношението на изминатото разстояние към времето.

Пропорциите могат да бъдат направени от правопропорционални количества. Например, съотношенията съставляват пропорцията:

Петдесет километра са до един час, както сто километра са до два часа.

Пример 2. Цената и количеството на закупените стоки са правопропорционални. Ако 1 кг сладкиши струва 30 рубли, тогава 2 кг от същите сладки ще струват 60 рубли, 3 кг - 90 рубли. С увеличаването на себестойността на закупен продукт, количеството му се увеличава със същата сума.

Тъй като себестойността на продукта и неговото количество са правопропорционални величини, тяхното съотношение винаги е постоянно.

Нека запишем какво е съотношението тридесет рубли към един килограм

Сега нека запишем какво е съотношението шестдесет рубли към два килограма. Това съотношение отново ще бъде равно на тридесет:

Тук коефициентът на пряка пропорционалност е числото 30. Този коефициент показва колко рубли са на килограм сладкиши. В този пример коефициентът играе ролята на цената на един килограм стока, тъй като цената е съотношението на цената на стоката към нейното количество.

Обратна пропорционалност

Помислете за следния пример. Разстоянието между двата града е 80 км. Мотоциклетистът тръгва от първия град и със скорост 20 km/h достига втория град за 4 часа.

Ако скоростта на мотоциклетист е била 20 км/ч, това означава, че всеки час той е изминавал разстояние от двадесет километра. Нека изобразим на фигурата разстоянието, изминато от мотоциклетиста, и времето на неговото движение:

На връщане скоростта на мотоциклетиста е била 40 км/ч и той е прекарал 2 часа в същото пътуване.

Лесно е да се забележи, че когато скоростта се променя, времето на движение се променя със същата стойност. Освен това се промени в обратна посока - тоест скоростта се увеличи, но времето, напротив, намаля.

Величини като скорост и време се наричат обратно пропорционални. И връзката между такива количества се нарича обратна пропорционалност.

Обратната пропорционалност е връзката между две величини, при която увеличаването на едната води до намаляване на другата със същата стойност.

и обратно, ако едната величина намалее с определен брой пъти, то другата се увеличава със същия брой пъти.

Например, ако на връщане скоростта на мотоциклетиста е 10 км/ч, то той ще измине същите 80 км за 8 часа:

Както се вижда от примера, намаляването на скоростта води до увеличаване на времето за движение със същото количество.

Особеността на обратно пропорционалните величини е, че техният продукт винаги е постоянен. Тоест, когато стойностите на обратно пропорционалните величини се променят, техният продукт остава непроменен.

В разглеждания пример разстоянието между градовете е 80 км. Когато скоростта и времето на движение на мотоциклетиста се променят, това разстояние винаги остава непроменено

Мотоциклетист би могъл да измине това разстояние със скорост 20 км/ч за 4 часа, със скорост 40 км/ч - за 2 часа, а със скорост 10 км/ч - за 8 часа. Във всички случаи произведението на скоростта и времето е равно на 80 км

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Типове зависимости

Нека да разгледаме зареждането на батерията. Като първо количество, нека вземем времето, необходимо за зареждане. Втората стойност е времето, през което ще работи след зареждане. Колкото по-дълго зареждате батерията, толкова по-дълго ще издържи. Процесът ще продължи, докато батерията се зареди напълно.

Зависимост на времето за работа на батерията от времето на зареждане

Бележка 1

Тази зависимост се нарича прав:

С нарастването на една стойност нараства и втората. Когато една стойност намалява, втората стойност също намалява.

Нека да разгледаме друг пример.

Колкото повече книги прочете един ученик, толкова по-малко грешки ще направи в диктовката. Или колкото по-високо се издигнете в планината, толкова по-ниско ще бъде атмосферното налягане.

Бележка 2

Тази зависимост се нарича обратен:

Когато една стойност се увеличава, втората намалява. Когато една стойност намалява, втората стойност се увеличава.

Така, в случай пряка зависимости двете количества се променят еднакво (и двете се увеличават или намаляват), а в случая обратна зависимост– противоположни (единият се увеличава, а другият намалява, или обратното).

Определяне на зависимости между величини

Пример 1

Времето, необходимо за посещение на приятел, е $20$ минути. Ако скоростта (първата стойност) се увеличи с $2$ пъти, ще разберем как ще се промени времето (втора стойност), което ще бъде изразходвано по пътя към приятел.

Очевидно времето ще намалее с $2$ пъти.

Забележка 3

Тази зависимост се нарича пропорционален:

Колкото пъти се променя едно количество, толкова пъти се променя второто количество.

Пример 2

За $2$ хляб в магазина трябва да платите 80 рубли. Ако трябва да купите хляб за $4$ (количеството хляб се увеличава с $2$ пъти), колко пъти повече ще трябва да платите?

Очевидно цената също ще се увеличи $2$ пъти. Имаме пример за пропорционална зависимост.

И в двата примера са разгледани пропорционални зависимости. Но в примера с хляба количествата се променят в една посока, следователно зависимостта е прав. А в примера с отиването в къщата на приятел връзката между скоростта и времето е такава обратен. Така има правопропорционална връзкаИ обратно пропорционална връзка.

Пряка пропорционалност

Нека разгледаме пропорционалните количества $2$: броят на хлябовете и тяхната цена. Нека 2$ хляба струват 80$ рубли. Ако броят на кифлите се увеличи с $4$ пъти ($8$ кифли), общата им цена ще бъде $320$ рубли.

Съотношението на броя на кифлите: $\frac(8)(2)=4$.

Съотношение на разходите за хлебчета: $\frac(320)(80)=$4.

Както можете да видите, тези отношения са равни една на друга:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Определение 1

Равенството на две съотношения се нарича пропорция.

При пряко пропорционална зависимост се получава връзка, когато промяната на първото и второто количество съвпада:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Определение 2

Двете величини се наричат право-пропорционален, ако когато една от тях се промени (увеличава или намалява), другата стойност също се променя (съответно се увеличава или намалява) със същото количество.

Пример 3

Колата измина $180$ км за $2$ часа. Намерете времето, през което той ще измине $2$ пъти разстоянието със същата скорост.

Решение.

Времето е право пропорционално на разстоянието:

$t=\frac(S)(v)$.

Колко пъти ще се увеличи разстоянието, при постоянна скорост, с толкова ще се увеличи времето:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Колата измина $180$ км за $2$ часа

Колата ще измине $180 \cdot 2=360$ км – за $x$ часа

Колкото по-далеч пътува колата, толкова повече време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е правопропорционална.

Да направим пропорция:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $4$ часа.

Обратна пропорционалност

Определение 3

Решение.

Времето е обратно пропорционално на скоростта:

$t=\frac(S)(v)$.

С колко пъти се увеличава скоростта, при един и същ път времето намалява със същото количество:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Нека напишем условието на задачата под формата на таблица:

Колата измина $60$ км - за $6$ часа

Колата ще измине $120$ км – за $x$ часа

Колкото по-бързо се движи колата, толкова по-малко време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е обратно пропорционална.

Да направим пропорция.

защото пропорционалността е обратна, втората връзка в пропорцията е обратна:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $3$ часа.

Можем да говорим безкрайно за предимствата на обучението чрез видео уроци. Първо, те представят своите мисли ясно и разбираемо, последователно и по структуриран начин. Второ, те отнемат определено време и не са често провлачени и досадни. Трето, те са по-вълнуващи за учениците от редовните уроци, с които са свикнали. Можете да ги разгледате в спокойна обстановка.

В много задачи от курса по математика учениците от 6. клас ще се сблъскват с права и обратно пропорционална зависимост. Преди да започнете да изучавате тази тема, си струва да си припомните какви са пропорциите и какви основни свойства имат.

Предишният видео урок е посветен на темата „Пропорции“. Това е логично продължение. Заслужава да се отбележи, че темата е доста важна и често срещана. Струва си да се разбере правилно веднъж завинаги.

За да покаже важността на темата, видео урокът започва със задача. Условието се появява на екрана и се съобщава от диктора. Записът на данните е даден под формата на някакъв вид диаграма, така че ученикът, който гледа видеозаписа, да може да разбере възможно най-добре. Би било по-добре, ако в началото той се придържа към тази форма на запис.

Неизвестното, както е прието в повечето случаи, се обозначава с латинската буква x. За да го намерите, първо трябва да умножите стойностите на кръст. Така ще се получи равенство на двете съотношения. Това предполага, че това е свързано с пропорциите и си струва да запомните основното им свойство. Моля, обърнете внимание, че всички стойности са посочени в една и съща мерна единица. В противен случай беше необходимо да ги сведем до едно измерение.

След като гледате метода за решаване във видеото, не би трябвало да имате никакви затруднения с подобни проблеми. Дикторът коментира всеки ход, обяснява всички действия и припомня изучавания материал, който се използва.

Веднага след като изгледате първата част на видео урока „Прави и обратнопропорционални зависимости“, можете да помолите ученика да реши същата задача без помощта на подсказки. След това можете да предложите алтернативна задача.

В зависимост от умствените способности на ученика, трудността на следващите задачи може постепенно да се увеличава.

След първата разгледана задача се дава дефиницията на правопропорционалните величини. Определението се прочита от диктора. Основната концепция е подчертана в червено.

След това се демонстрира друга задача, на базата на която се обяснява обратнопропорционалната зависимост. Най-добре е ученикът да записва тези понятия в тетрадка. Ако е необходимо, преди тестове, ученикът може лесно да намери всички правила и дефиниции и да ги прочете отново.

След като изгледа това видео, ученикът от 6 клас ще разбере как да използва пропорциите в определени задачи. Това е доста важна тема, която не трябва да се пропуска при никакви обстоятелства. Ако ученикът не е в състояние да възприеме материала, представен от учителя по време на урок сред другите ученици, тогава такива образователни ресурси ще бъдат голямо спасение!