Умножение на числа в степен. Правило за умножение на степени с различни основи

Всяка аритметична операция понякога става твърде тромава за запис и те се опитват да я опростят. Преди беше същото с операцията събиране. Беше необходимо хората да извършват многократни добавки от един и същи тип, например, за да изчислят цената на сто персийски килима, чиято цена е 3 златни монети за всеки. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Поради обемността се смяташе, че нотацията трябва да се намали до 3 * 100 = 300. Всъщност нотацията „три пъти по сто“ означава, че трябва да вземете сто тройки и ги съберете. Умножението пусна корени, придоби обща популярност. Но светът не стои неподвижен и през Средновековието стана необходимо да се извърши многократно умножение от същия тип. Спомням си една стара индианска гатанка за мъдрец, който поискал житни зърна в следното количество като награда за свършената работа: за първата клетка на шахматната дъска поискал едно зърно, за втората - две, за третата - четири, петият - осем и т.н. Така се появи първото умножение на степените, тъй като броят на зърната беше равен на две на степен на числото на клетката. Например в последната клетка ще има 2*2*2*…*2 = 2^63 зърна, което се равнява на число с дължина 18 знака, което всъщност е смисълът на загадката.

Операцията за издигане на степен се вкорени доста бързо и също бързо стана необходимо да се извършва събиране, изваждане, деление и умножение на степени. Последното си струва да се разгледа по-подробно. Формулите за добавяне на степени са прости и лесни за запомняне. Освен това е много лесно да се разбере откъде идват, ако степенната операция се замени с умножение. Но първо трябва да разберете елементарната терминология. Изразът a ^ b (чете се „a на степен b“) означава, че числото a трябва да се умножи по себе си b пъти и „a“ се нарича основа на степента, а „b“ е експонента. Ако основите на степените са еднакви, тогава формулите се извеждат съвсем просто. Конкретен пример: намерете стойността на израза 2^3 * 2^4. За да знаете какво трябва да се случи, трябва да намерите отговора на компютъра, преди да започнете решението. Въвеждането на този израз в който и да е онлайн калкулатор, търсачка, въвеждането на „умножение на степени с различни основи и еднакви“ или математически пакет, резултатът ще бъде 128. Сега нека напишем този израз: 2^3 = 2*2*2, и 2^4 = 2 *2*2*2. Оказва се, че 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Оказва се, че произведението на степени с една и съща основа е равно на основата, повдигната на степен, равна на сумата от предходните две степени.

Може би си мислите, че това е случайност, но не: всеки друг пример може само да потвърди това правило. Така най-общо формулата изглежда така: a^n * a^m = a^(n+m) . Има и правило, че всяко число на нулева степен е равно на единица. Тук трябва да запомним правилото за отрицателните степени: a^(-n) = 1 / a^n. Тоест, ако 2^3 = 8, тогава 2^(-3) = 1/8. Използвайки това правило, можем да докажем равенството a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) може да се намали и остава единица. От това се извлича правилото, че частното на степените с еднакви основи е равно на тази основа до степен, равна на частното на делителя и делителя: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Пример: Опростете израза 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Умножението е комутативна операция, така че степените на умножение първо трябва да се добавят: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. След това трябва да се справите с разделянето на отрицателна степен. Необходимо е да извадите показателя на делителя от показателя на дивидента: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Това се оказва, че операцията деление на отрицателна степен е идентична с операцията умножение с подобен положителен показател. Така че крайният отговор е 8.

Има примери, при които се извършва неканонично умножение на мощности. Умножаването на степени с различни бази много често е много по-трудно, а понякога дори невъзможно. Трябва да се дадат няколко примера за различни възможни подходи. Пример: опростете израза 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно е, че има умножение на степени с различни основи. Но трябва да се отбележи, че всички бази са различни степени на тройка. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Използвайки правилото (a^n) ^m = a^(n*m) , трябва да пренапишете израза в по-удобна форма: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Отговор: 3^11. В случаите, когато има различни бази, правилото a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n работи за равни показатели. Например 3^3 * 7^3 = 21^3. В противен случай, когато има различни бази и показатели, не може да се направи пълно умножение. Понякога можете частично да опростите или да прибегнете до помощта на компютърните технологии.

В последния видео урок научихме, че степента на определена основа е израз, който е произведение на основата и себе си, взети в количество, равно на степента. Нека сега да проучим някои от най-важните свойства и действия на степените.

Например, нека умножим две различни степени с една и съща основа:

Нека да разгледаме това парче в неговата цялост:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Изчислявайки стойността на този израз, получаваме числото 32. От друга страна, както се вижда от същия пример, 32 може да бъде представено като произведение на една и съща основа (две), взето 5 пъти. И наистина, ако броите, тогава:

Следователно може безопасно да се заключи, че:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Това правило работи успешно за всякакви показатели и всякакви основания. Това свойство на умножение на степента следва от правилото за запазване на значението на изразите по време на трансформации в продукта. За всяка основа a произведението на два израза (a) x и (a) y е равно на a (x + y). С други думи, когато се създават изрази с една и съща основа, крайният моном има обща степен, образувана чрез добавяне на степента на първия и втория израз.

Представеното правило работи чудесно и при умножаване на няколко израза. Основното условие е основите за всички да са еднакви. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Невъзможно е да се добавят степени и изобщо да се извършват каквито и да било силови съвместни действия с два елемента на израза, ако основите им са различни.
Както показва нашето видео, поради сходството на процесите на умножение и деление, правилата за добавяне на степени по време на продукт се пренасят перфектно в процедурата за деление. Помислете за този пример:

Нека направим почленна трансформация на израза в пълна форма и редуцираме същите елементи в дивидент и делител:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Крайният резултат от този пример не е толкова интересен, тъй като още в хода на решаването му става ясно, че стойността на израза е равна на квадрат две. И това е двойката, която се получава чрез изваждане на степента на втория израз от степента на първия.

За да се определи степента на частното, е необходимо да се извади степента на делителя от степента на делителя. Правилото работи с една и съща основа за всички негови стойности и за всички природни сили. В абстрактна форма имаме:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Дефиницията за нулева степен следва от правилото за деление на еднакви основи със степени. Очевидно следният израз е:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

От друга страна, ако разделим по по-визуален начин, получаваме:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

При намаляване на всички видими елементи на дроб винаги се получава изразът 1/1, тоест единица. Следователно, общоприето е, че всяка основа, повдигната на нулева степен, е равна на единица:

Независимо от стойността на a.

Въпреки това би било абсурдно, ако 0 (което все още дава 0 за всяко умножение) по някакъв начин е равно на едно, така че израз като (0) 0 (нула на нулева степен) просто няма смисъл и към формула (a) 0 \u003d 1 добавете условие: "ако a не е равно на 0".

Да направим упражнението. Нека намерим стойността на израза:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Тъй като основата е една и съща навсякъде и е равна на 34, крайната стойност ще има същата основа със степен (според горните правила):

С други думи:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Отговор: Изразът е равен на едно.

Урок на тема: "Правила за умножение и деление на степени с еднакви и различни степени. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство към учебника A.G. Мордкович

Целта на урока: да научите как да извършвате операции със степен на число.

Като начало, нека си припомним понятието "степен на число". Израз като $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да бъде представен като $a^n$.

Обратното също е вярно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Това равенство се нарича "записване на степента като произведение". Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме правомощията.
Помня:
а- основата на степента.
н- експонента.
Ако n=1, което означава числото Авзети веднъж и съответно: $a^n= 1$.
Ако n=0, тогава $a^0= 1$.

Защо се случва това, можем да разберем, когато се запознаем с правилата за умножение и деление на степени.

правила за умножение

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно да се използва за опростяване на работата при повишаване на число до голяма степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако степените се умножават с различна основа, но същата степен.
Към $a^n * b^n$ записваме степените като произведение: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Така $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

правила за разделяне

Така че е необходимо $\frac(a^n)(a^m)$, Където n>m.

Записваме градусите като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Сега нека намалим дробта.

Оказва се: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
означава, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на число на степен нула. Да приемем, че n=m, тогава $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да кажем, че имате нужда от $\frac(a^n)( b^n)$. Записваме степените на числата като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Пример.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливиИ различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепени се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степените с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разделение на властите

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Събиране и изваждане на степени

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливиИ различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепени се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степените с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са − отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление на степени

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac $ Отговор: $\frac $.

2. Намалете експонентите в $\frac$. Отговор: $\frac $ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

степенни свойства

Напомняме ви, че в този урок разбираме степенни свойствас натурални показатели и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.

Експонента с естествен показател има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростите изчисленията в примери за степен.

Имот #1
Продукт на мощности

При умножаване на степени с една и съща основа, основата остава непроменена, а показателите се добавят.

a m a n \u003d a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Това свойство на степените също засяга произведението на три или повече степени.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Присъства като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Присъства като степен.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство става дума само за умножаване на степени с еднакви бази.. Не се отнася за добавянето им.

Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 5 . Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот №2
Частни степени

При деление на степени с една и съща основа основата остава непроменена и показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.

• Запишете частното като степен
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Изчисли.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частичните степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, обърнете внимание, че свойство 2 се занимава само с разделението на правомощията със същите основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1 . Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот #3
степенуване

При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.

(a n) m \u003d a n m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.

Как да умножим мощностите

Как да умножим правомощията? Кои мощности могат да се умножават и кои не? Как се умножава число по степен?

В алгебрата можете да намерите произведението на степените в два случая:

1) ако степените имат една и съща основа;

2) ако степените са с еднакви показатели.

Когато се умножават степени с една и съща основа, основата трябва да остане същата, а показателите трябва да се добавят:

При умножаване на градуси с едни и същи показатели общият индикатор може да бъде изваден от скоби:

Помислете как да умножавате степени с конкретни примери.

Единицата в експонента не е написана, но при умножаване на степените се вземат предвид:

При умножаване броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не можете да напишете знака за умножение преди буквата:

В изразите първо се извършва степенуване.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуване и едва след това - умножение:

Умножение на степени с една и съща основа

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Имате ли вече абонамент? Да вляза

В този урок ще научим как да умножаваме степени с една и съща основа. Първо, припомняме дефиницията на степента и формулираме теорема за валидността на равенството . След това даваме примери за приложението му към конкретни числа и го доказваме. Ще приложим теоремата и за решаване на различни задачи.

Тема: Степен с натурален показател и неговите свойства

Урок: Умножение на степени с еднакви основи (формула)

1. Основни определения

Основни определения:

н- показател,

— н-та степен на число.

2. Изложение на теорема 1

Теорема 1.За произволен номер Аи всеки естествен нИ кравенството е вярно:

С други думи: ако А- всякакъв брой; нИ кестествени числа, тогава:

Следователно правило 1:

3. Обяснителни задачи

Заключение:специални случаи потвърдиха правилността на теорема № 1. Нека го докажем в общия случай, тоест за всеки Аи всеки естествен нИ к.

4. Доказателство на теорема 1

Дадено е число А- всякакви; числа нИ к-естествено. Докажи:

Доказателството се основава на дефиницията на степента.

5. Решение на примери с помощта на теорема 1

Пример 1:Присъства като степен.

За решаване на следните примери използваме теорема 1.

и)

6. Обобщение на теорема 1

Ето едно обобщение:

7. Решение на примери с помощта на обобщение на теорема 1

8. Решаване на различни задачи с помощта на теорема 1

Пример 2:Изчислете (можете да използвате таблицата на основните степени).

а) (според таблицата)

б)

Пример 3:Запишете като степен с основа 2.

а)

Пример 4:Определете знака на числото:

, А -отрицателно, защото показателят при -13 е странно.

Пример 5:Заменете ( ) със степен с основа r:

Имаме, т.е.

9. Обобщаване

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просвещение. 2010 г

1. Училищен асистент (Източник).

1. Изразете като степен:

а б В Г Д)

3. Запишете като степен с основа 2:

4. Определете знака на числото:

а)

5. Заменете ( ) със степен на число с основа r:

а) r 4 ( ) = r 15 ; б) ( ) r 5 = r 6

Умножение и деление на степени с еднакви показатели

В този урок ще изучаваме умножението на степени с еднакви показатели. Първо, нека си припомним основните дефиниции и теореми за умножаване и деление на степени с еднакви основи и повишаване на степен на степен. След това формулираме и доказваме теореми за умножение и деление на степени с еднакви показатели. И тогава с тяхна помощ ще решим редица типични проблеми.

Напомняне на основни определения и теореми

Тук а- основа на степента

— н-та степен на число.

Теорема 1.За произволен номер Аи всеки естествен нИ кравенството е вярно:

При умножаване на степени с една и съща основа степените се събират, основата остава непроменена.

Теорема 2.За произволен номер Аи всеки естествен нИ к,такова, че н > кравенството е вярно:

При деление на степени с една и съща основа степените се изваждат, а основата остава непроменена.

Теорема 3.За произволен номер Аи всеки естествен нИ кравенството е вярно:

Всички горни теореми бяха за степени с еднакви основания, този урок ще разглежда степени със същото показатели.

Примери за умножение на степени с еднакви показатели

Разгледайте следните примери:

Нека напишем изразите за определяне на степента.

Заключение:От примерите можете да видите това , но това все още трябва да се докаже. Ние формулираме теоремата и я доказваме в общия случай, тоест за всеки АИ bи всеки естествен н.

Твърдение и доказателство на теорема 4

За всякакви числа АИ bи всеки естествен нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 4 .

По дефиниция на степен:

Така че ние сме го доказали .

За да умножите степени с една и съща степен, е достатъчно да умножите основите и да оставите степента непроменена.

Твърдение и доказателство на теорема 5

Формулираме теорема за деление на степени с еднакви показатели.

За произволен номер АИ b() и всеки естествен нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 5 .

Нека запишем и по дефиниция на степен:

Изложение на теореми с думи

Така че ние сме го доказали.

За да разделите степени с еднакви експоненти една в друга, достатъчно е да разделите една основа на друга и да оставите експонентата непроменена.

Решаване на типични задачи с помощта на теорема 4

Пример 1:Изразете като продукт на мощности.

За решаване на следните примери използваме теорема 4.

За да разрешите следния пример, припомнете си формулите:

Обобщение на теорема 4

Обобщение на теорема 4:

Решаване на примери с помощта на обобщена теорема 4

Продължете да решавате типични проблеми

Пример 2:Запишете като степен на продукт.

Пример 3:Запишете като степен с показател 2.

Примери за изчисление

Пример 4:Изчислете по най-рационалния начин.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: VENTANA-GRAF

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др.. Алгебра 7 .M .: Образование. 2006 г

2. Училищен асистент (Източник).

1. Представяне като продукт на мощности:

А) ; б) ; V) ; G) ;

2. Запишете като степен на продукта:

3. Напишете под формата на степен с индикатор 2:

4. Изчислете по най-рационалния начин.

Урок по математика на тема "Умножение и деление на степени"

Раздели:Математика

Педагогическа цел:

Задачи:

Дейностни единици на доктрината:определяне на степента с натурален показател; компоненти на степента; определение за частно; асоциативен закон за умножение.

I. Организиране на демонстрация на усвояване на съществуващите знания от учениците. (етап 1)

а) Актуализиране на знанията:

2) Формулирайте дефиниция на степента с естествен показател.

a n \u003d a a a a ... a (n пъти)

b k \u003d b b b b a ... b (k пъти) Обосновете отговора си.

II. Организиране на самооценка на обучавания по степента на притежаване на съответния опит. (стъпка 2)

Тест за самопроверка: (самостоятелна работа в два варианта.)

A1) Изразете произведението 7 7 7 7 x x x като степен:

A2) Изразете като произведение степента (-3) 3 x 2

A3) Изчислете: -2 3 2 + 4 5 3

Подбирам броя на задачите в теста в съответствие с подготовката на класа.

За теста давам ключ за самотест. Критерии: издържан-неуспешен.

III. Учебно-практическа задача (стъпка 3) + стъпка 4. (учениците сами ще формулират свойствата)

В хода на решаването на задачи 1) и 2) учениците предлагат решение, а аз, като учител, организирам клас, за да намеря начин за опростяване на степените при умножение с еднакви основи.

Учител: измислете начин за опростяване на степени при умножение с една и съща основа.

В клъстера се появява запис:

Темата на урока е формулирана. Умножение на степени.

Учител: измислете правило за разделяне на степени с еднакви основи.

Разсъждение: какво действие проверява разделението? a 5: a 3 = ? че a 2 a 3 = a 5

Връщам се към схемата - клъстер и допълвам записа - ..при деление изваждам и добавям темата на урока. ...и деление на степени.

IV. Съобщаване на студентите за границите на знанията (като минимум и като максимум).

Учител: минималната задача за днешния урок е да научите как да прилагате свойствата на умножението и делението на степени с еднакви основи, а максималната: да прилагате умножението и делението заедно.

Пиша на дъската : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Организация на изучаването на нов материал. (стъпка 5)

а) По учебник: № 403 (а, в, д) задачи с различна формулировка

No 404 (а, д, е) самостоятелна работа, след което организирам взаимна проверка, давам ключовете.

б) За каква стойност на m е в сила равенството? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Задача: измислете подобни примери за разделяне.

в) № 417 (а), № 418 (а) Капани за ученици: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Обобщаване на наученото, провеждане на диагностична работа (която насърчава учениците, а не учителите, да изучават тази тема) (стъпка 6)

диагностична работа.

Тест(поставете ключовете на гърба на теста).

Варианти на задачата: представи като степен частното x 15: x 3; представи като степен произведението (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; за които m е вярно равенството a 16 a m = a 32; намерете стойността на израза h 0: h 2 с h = 0,2; пресметнете стойността на израза (5 2 5 0) : 5 2 .

Обобщение на урока. Отражение.Разделям класа на две групи.

Намерете аргументите от група I: в полза на познаването на свойствата на степента и група II - аргументи, които ще кажат, че можете да правите без свойства. Слушаме всички отговори, правим заключения. В следващите уроци можете да предложите статистически данни и да озаглавите рубриката „Не се вписва в главата ми!“

VII. Домашна работа.

Историческа справка. Кои числа се наричат ​​числа на Ферма.

стр.19. #403, #408, #417

Използвани книги:

Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери.

След като се определи степента на числото, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на числото, като същевременно ще се докоснем до всички възможни показатели. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента и ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степени с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използването свойства за умножение на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател: