Mis on trapetsi keskjoon. N.Nikitin Geomeetria
Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Avalikustamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.
Isikuandmete kaitse
Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.
Tunni eesmärgid:
1) tutvustab õpilastele trapetsi keskjoone mõistet, kaalub selle omadusi ja tõestab neid;
2) õpetab ehitama trapetsi keskjoont;
3) arendada õpilaste oskust kasutada ülesannete lahendamisel trapetsi keskjoone definitsiooni ja trapetsi keskjoone omadusi;
4) jätkab õpilaste korrektse kõne oskuse arendamist, kasutades selleks vajalikke matemaatilisi termineid; tõestada oma seisukohta;
5) arendab loogilist mõtlemist, mälu, tähelepanu.
Tundide ajal
1. Kodutööde kontrollimine toimub tunni ajal. Kodutöö oli suuline, pidage meeles:
a) trapetsi määratlus; trapetsi tüübid;
b) kolmnurga keskjoone määramine;
c) kolmnurga keskjoone omadus;
d) kolmnurga keskjoone märk.
2. Uue materjali õppimine.
a) Tahvlil on kujutatud trapets ABCD.
b) Õpetaja pakub meelde jätta trapetsi definitsiooni. Igal laual on vihjeskeem, mis aitab meeles pidada põhimõisteid teemas “Trapets” (vt lisa 1). Iga laua kohta väljastatakse lisa 1.
Õpilased joonistavad vihikusse trapetsi ABCD.
c) Õpetaja soovitab meenutada, millises teemas keskjoone mõistega kokku puututi (“Kolmnurga keskjoon”). Õpilased meenutavad kolmnurga keskjoone määratlust ja selle omadust.
e) Kirjutage üles trapetsi keskjoone määratlus, kujutades seda vihikus.
keskmine joon Trapetsi nimetatakse lõiguks, mis ühendab selle külgede keskpunkte.
Trapetsi keskjoone omadus selles etapis jääb tõestamata, nii et õppetunni järgmine etapp hõlmab trapetsi keskjoone omaduse tõestamist.
Teoreem. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega ja võrdne poolega nende summast.
Arvestades: ABCD - trapets,
MN - keskmine joon ABCD
Tõesta, Mida:
1. eKr || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Saame kirja panna mõned teoreemi tingimustest tulenevad järeldused:
AM=MB, CN=ND, BC || AD.
Ainuüksi loetletud omaduste põhjal on võimatu tõendada nõutavat. Küsimuste ja harjutuste süsteem peaks viima õpilasteni soovini ühendada trapetsi keskjoon mõne kolmnurga keskjoonega, mille omadusi nad juba teavad. Kui ettepanekuid pole, siis võime esitada küsimuse: kuidas konstrueerida kolmnurka, mille mediaansirgeks oleks lõik MN?
Kirjutame ühele juhtumile lisakonstruktsiooni.
Joonistame sirge BN, mis lõikab külje AD pikendust punktis K.
Ilmuvad lisaelemendid - kolmnurgad: ABD, BNM, DNK, BCN. Kui tõestame, et BN = NK, siis see tähendab, et MN on ABD keskjoon ja siis saame kasutada kolmnurga keskjoone omadust ja tõestada vajalikkust.
Tõestus:
1. Võtke arvesse BNC ja DNK, nendes:
a) CNB =DNK (vertikaalsete nurkade omadus);
b) BCN = NDK (sisemiste ristlamanurkade omadus);
c) CN = ND (teoreemi hüpoteesi järeldub).
Seega BNC = DNK (küljel ja kahes nurgas sellega külgnevas).
Q.E.D.
Tõestust saab tunnis läbi viia suuliselt ning kodus taastada ja vihikusse üles kirjutada (õpetaja äranägemisel).
Selle teoreemi tõestamiseks on vaja mainida teisi võimalikke viise:
1. Joonista üks trapetsi diagonaalidest ja kasuta kolmnurga keskjoone märki ja omadust.
2. Käivitage CF || BA ja vaatleme rööpkülikut ABCF ja DCF.
3. Käivitage EF || BA ja kaaluge FND ja ENC võrdsust.
g) Selles etapis antakse kodutööd: lk 84, õpik, toim. Atanasyan L.S. (trapetsi keskjoone omaduse tõestus vektorkujul), kirjuta vihikusse.
h) Lahendame valminud jooniste järgi trapetsi keskjoone definitsiooni ja omaduste kasutamise ülesandeid (vt lisa 2). Lisa 2 antakse igale õpilasele ning ülesannete lahendus vormistatakse lühivormis samale lehele.
- Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendav segment on võrdne poole aluste erinevusest
- Trapetsi alustest ja diagonaalide lõikudest kuni nende lõikepunktini moodustatud kolmnurgad on sarnased
- Trapetsi diagonaalide segmentidest moodustatud kolmnurgad, mille küljed asuvad trapetsi külgedel - võrdne pindala (sama pindalaga)
- Kui pikendada trapetsi külgi väiksema aluse poole, siis need ristuvad ühes punktis aluste keskpunkte ühendava sirgjoonega
- Trapetsi aluseid ühendav ja trapetsi diagonaalide lõikepunkti läbiv segment jagatakse selle punktiga proportsioonis, mis võrdub trapetsi aluste pikkuste suhtega
- Trapetsi alustega paralleelne ja läbi diagonaalide lõikepunkti tõmmatud segment poolitatakse selle punktiga ja selle pikkus on võrdne 2ab / (a + b), kus a ja b on trapetsi alused
Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendava lõigu omadused
Ühendage trapetsi ABCD diagonaalide keskpunktid, mille tulemusena saame lõigu LM.
Lõik, mis ühendab trapetsi diagonaalide keskpunkte asub trapetsi keskjoonel.
See segment paralleelselt trapetsi alustega.
Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendava lõigu pikkus on võrdne selle aluste poolvahega.
LM = (AD – BC)/2
või
LM = (a-b)/2
Trapetsi diagonaalide poolt moodustatud kolmnurkade omadused
Kolmnurgad, mille moodustavad trapetsi alused ja trapetsi diagonaalide lõikepunkt - on sarnased.
Kolmnurgad BOC ja AOD on sarnased. Kuna nurgad BOC ja AOD on vertikaalsed, on need võrdsed.
Nurgad OCB ja OAD on sisemised risti asetsevad paralleelsetel joontel AD ja BC (trapetsi alused on üksteisega paralleelsed) ja lõikejoonel AC, seega on need võrdsed.
Nurgad OBC ja ODA on võrdsed samal põhjusel (sisemine ristvale).
Kuna ühe kolmnurga kõik kolm nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, on need kolmnurgad sarnased.
Mis sellest järeldub?
Geomeetria ülesannete lahendamiseks kasutatakse kolmnurkade sarnasust järgmiselt. Kui teame sarnaste kolmnurkade kahe vastava elemendi pikkused, siis leiame sarnasuskordaja (jagame üksteisega). Kust kõigi teiste elementide pikkused on omavahel seotud täpselt sama väärtusega.
Trapetsi külgküljel asuvate kolmnurkade ja diagonaalide omadused
Vaatleme kahte kolmnurka, mis asuvad trapetsi AB ja CD külgedel. Need on kolmnurgad AOB ja COD. Hoolimata asjaolust, et nende kolmnurkade üksikute külgede suurused võivad olla täiesti erinevad, kuid trapetsi külgede ja diagonaalide lõikepunkti poolt moodustatud kolmnurkade pindalad on st kolmnurgad on võrdsed.
Kui trapetsi küljed on sirutatud väiksema aluse poole, siis külgede lõikepunkt on langevad kokku sirgjoonega, mis läbib aluste keskpunkte.
Seega saab iga trapetsi pikendada kolmnurgaks. Kus:
- Pikendatud külgede lõikepunktis ühise tipuga trapetsi alustest moodustatud kolmnurgad on sarnased
- Trapetsi aluste keskpunkte ühendav sirgjoon on samal ajal konstrueeritud kolmnurga mediaan
Trapetsi aluseid ühendava lõigu omadused
Kui joonistate lõigu, mille otsad asuvad trapetsi diagonaalide lõikepunktis (KN) asuva trapetsi alustel, siis on selle moodustavate segmentide suhe aluse küljelt trapetsi lõikepunkti. diagonaalid (KO / ON) on võrdne trapetsi aluste suhtega(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
See omadus tuleneb vastavate kolmnurkade sarnasusest (vt eespool).
Trapetsi alustega paralleelse lõigu omadused
Kui joonistate lõigu, mis on paralleelne trapetsi alustega ja läbib trapetsi diagonaalide lõikepunkti, on sellel järgmised omadused:
- Eelseadistatud vahemaa (KM) poolitab trapetsi diagonaalide lõikepunkti
- Lõika pikkus, mis läbib trapetsi diagonaalide lõikepunkti ja on alustega paralleelne, on võrdne KM = 2ab/(a + b)
Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks
a, b- trapetsi alused
c, d- trapetsi küljed
d1 d2- trapetsi diagonaalid
α β - nurgad, mille trapetsi alus on suurem
Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks läbi aluste, külgede ja nurkade põhjas
Esimene valemite rühm (1-3) peegeldab trapetsi diagonaalide üht peamist omadust:
1. Trapetsi diagonaalide ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga pluss selle aluste kahekordne korrutis. Seda trapetsi diagonaalide omadust saab tõestada eraldi teoreemina
2 . See valem saadakse eelmise valemi teisendamisel. Teise diagonaali ruut visatakse üle võrdusmärgi, mille järel eraldatakse ruutjuur avaldise vasakust ja paremast küljest.
3 . See trapetsi diagonaali pikkuse leidmise valem on sarnane eelmisega, selle erinevusega, et avaldise vasakule küljele on jäetud teine diagonaal
Järgmine valemite rühm (4-5) on tähenduselt sarnane ja väljendab sarnast seost.
Valemite rühm (6-7) võimaldab leida trapetsi diagonaali, kui on teada trapetsi suurem alus, üks külg ja nurk aluses.
Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks kõrguse järgi
Ülesanne.
Trapetsi ABCD (AD | | BC) diagonaalid lõikuvad punktis O. Leia trapetsi aluse BC pikkus, kui alus AD = 24 cm, pikkus AO = 9 cm, pikkus OS = 6 cm.
Lahendus.
Selle ülesande lahendus on ideoloogiliselt absoluutselt identne eelmiste ülesannetega.
Kolmnurgad AOD ja BOC on kolme nurga poolest sarnased - AOD ja BOC on vertikaalsed ning ülejäänud nurgad on paarikaupa võrdsed, kuna need moodustuvad ühe sirge ja kahe paralleelse sirge ristumiskohas.
Kuna kolmnurgad on sarnased, siis on kõik nende geomeetrilised mõõtmed omavahel seotud, kuna meile teadaolevad lõikude AO ja OC geomeetrilised mõõtmed vastavalt ülesande seisukorrale. See on
AO/OC=AD/BC
9/6 = 24/B.C.
eKr = 24 * 6/9 = 16
Vastus: 16 cm
Ülesanne .
Trapetsi ABCD puhul on teada, et AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Leidke trapetsi pindala. 
Lahendus.
Trapetsi kõrguse leidmiseks väiksema aluse B ja C tippudest langetame kaks kõrgust suuremale alusele. Kuna trapets on ebavõrdne, siis tähistame pikkust AM = a, pikkust KD = b ( mitte segi ajada valemis olevate sümbolitega trapetsi pindala leidmine). Kuna trapetsi alused on paralleelsed ja oleme jätnud välja kaks suurema aluse suhtes risti asetsevat kõrgust, siis on MBCK ristkülik.
Tähendab
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Kolmnurgad DBM ja ACK on täisnurksed, seega moodustavad nende täisnurgad trapetsi kõrgused. Tähistame trapetsi kõrgust h-ga. Siis Pythagorase teoreemi järgi
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
Ja
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Mõtle, et a \u003d 16 - b, siis esimeses võrrandis
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Asendage kõrguse ruudu väärtus teise võrrandiga, mis on saadud Pythagorase teoreemiga. Saame:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Seega KD = 12
Kus
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Leidke trapetsi pindala, kasutades selle kõrgust ja poolt aluste summast
, kus a b - trapetsi alused, h - trapetsi kõrgus
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2
Vastus: trapetsi pindala on 80 cm2.
Trapetsi keskjoone mõiste
Kõigepealt meenutagem, millist kujundit nimetatakse trapetsiks.
Definitsioon 1
Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed.
Sel juhul nimetatakse paralleelseid külgi trapetsi alusteks ja mitte paralleelseid - trapetsi külgedeks.
2. definitsioon
Trapetsi keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgede keskpunkte.
Trapetsi keskjoone teoreem
Nüüd tutvustame teoreemi trapetsi keskjoone kohta ja tõestame seda vektormeetodil.
1. teoreem
Trapetsi keskjoon on alustega paralleelne ja võrdne poolega nende summast.
Tõestus.
Olgu meile antud trapets $ABCD$ alustega $AD\ ja\ BC$. Ja olgu $MN$ selle trapetsi keskjoon (joonis 1).
Joonis 1. Trapetsi keskjoon
Tõestame, et $MN||AD\ ja\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Vaatleme vektorit $\overrightarrow(MN)$. Järgmiseks kasutame vektorite liitmiseks hulknurga reeglit. Ühest küljest saame sellest aru
Teisel pool
Lisades kaks viimast võrdsust, saame
Kuna $M$ ja $N$ on trapetsi külgede keskpunktid, on meil
Saame:
Seega
Samast võrdsusest (kuna $\overrightarrow(BC)$ ja $\overrightarrow(AD)$ on kaassuunalised ja seetõttu kollineaarsed), saame selle $MN||AD$.
Teoreem on tõestatud.
Näiteid ülesannetest trapetsi keskjoone mõiste kohta
Näide 1
Trapetsi küljed on vastavalt $15\cm$ ja $17\cm$. Trapetsi ümbermõõt on $52\cm$. Leidke trapetsi keskjoone pikkus.
Lahendus.
Tähistame trapetsi keskjoont väärtusega $n$.
Külgede summa on
Seega, kuna ümbermõõt on $52\ cm$, siis aluste summa on
Seega saame teoreemi 1 abil
Vastus: 10 $\cm$.
Näide 2
Ringi läbimõõdu otsad on puutujast vastavalt $9$ cm ja $5$ cm. Leidke selle ringi läbimõõt.
Lahendus.
Olgu meile antud ring keskpunktiga $O$ ja läbimõõduga $AB$. Joonistage puutuja $l$ ja konstrueerige kaugused $AD=9\ cm$ ja $BC=5\ cm$. Joonistame raadiuse $OH$ (joonis 2).
Joonis 2.
Kuna $AD$ ja $BC$ on puutuja kaugused, siis $AD\bot l$ ja $BC\bot l$ ning kuna $OH$ on raadius, siis $OH\bot l$, seega $OH | \left|AD\right||BC$. Sellest kõigest saame, et $ABCD$ on trapets ja $OH$ on selle keskjoon. Teoreemi 1 järgi saame
Trapets on nelinurga erijuhtum, mille üks külgede paar on paralleelne. Mõiste "trapets" pärineb kreeka sõnast τράπεζα, mis tähendab "laud", "laud". Selles artiklis käsitleme trapetsi tüüpe ja selle omadusi. Lisaks mõtleme välja, kuidas arvutada selle näite üksikuid elemente, võrdhaarse trapetsi diagonaali, keskjoont, pindala jne. Materjal on esitatud elementaarse populaarse geomeetria stiilis, see tähendab kergesti ligipääsetavas vormis. vormi.
Üldine informatsioon
Esiteks mõistame, mis on nelinurk. See joonis on nelja külje ja nelja tipuga hulknurga erijuhtum. Kaks nelinurga tippu, mis ei ole kõrvuti, nimetatakse vastandlikeks. Sama võib öelda kahe mittekülgneva külje kohta. Peamised nelinurkade tüübid on rööpkülik, ristkülik, romb, ruut, trapets ja deltakujuline.
Niisiis, tagasi trapetsi juurde. Nagu me juba ütlesime, on sellel joonisel kaks paralleelset külge. Neid nimetatakse alusteks. Ülejäänud kaks (mitteparalleelsed) on küljed. Eksamite ja erinevate testide materjalidest võib sageli leida trapetsidega seotud ülesandeid, mille lahendamine eeldab sageli õpilaselt teadmisi, mida programm ette ei näe. Kooli geomeetria kursus tutvustab õpilastele nurkade ja diagonaalide omadusi, samuti võrdhaarse trapetsi keskjoont. Kuid peale selle on mainitud geomeetrilisel kujundil ka muid jooni. Aga neist lähemalt hiljem...
Trapetsi tüübid
Seda kujundit on mitut tüüpi. Kuid enamasti on tavaks pidada neist kahte - võrdhaarset ja ristkülikukujulist.
1. Ristkülikukujuline trapets on kujund, mille üks külgedest on alustega risti. Sellel on kaks nurka, mis on alati üheksakümmend kraadi.
2. Võrdhaarne trapets on geomeetriline kujund, mille küljed on üksteisega võrdsed. See tähendab, et ka aluste nurgad on paarikaupa võrdsed.
Trapetsi omaduste uurimise metoodika põhiprintsiibid
Peamine põhimõte on nn ülesande lähenemisviisi kasutamine. Tegelikult pole selle kujundi uusi omadusi vaja geomeetria teoreetilises kursuses tutvustada. Neid saab avastada ja sõnastada erinevate probleemide lahendamise käigus (parem kui süsteemsed). Samas on väga oluline, et õpetaja teaks, milliseid ülesandeid tuleb õpilastele ühel või teisel õppeprotsessi ajal püstitada. Lisaks saab iga trapetsi omadust esitada ülesannete süsteemi võtmeülesandena.
Teine põhimõte on trapetsi "tähelepanuväärsete" omaduste uurimise nn spiraalne korraldamine. See tähendab õppeprotsessis naasmist antud geomeetrilise kujundi individuaalsete tunnuste juurde. Seega on õpilastel lihtsam neid meelde jätta. Näiteks nelja punkti omadus. Seda saab tõestada nii sarnasuse uurimisel kui ka hiljem vektorite abil. Ja joonise külgedega külgnevate kolmnurkade võrdset pindala saab tõestada, rakendades mitte ainult võrdse kõrgusega kolmnurkade omadusi, mis on tõmmatud samal joonel asuvatele külgedele, vaid ka valemiga S= 1/2 (ab*sinα). Lisaks saate treenida sissekirjutatud trapetsi või täisnurkse kolmnurgaga piiritletud trapetsi jne.
Geomeetrilise kujundi "programmiväliste" tunnuste kasutamine koolikursuse sisus on ülesannete tehnoloogia nende õpetamiseks. Pidev pöördumine uuritavate omaduste poole teiste teemade läbimisel võimaldab õpilastel saada sügavamaid teadmisi trapetsist ja tagab ülesannete lahendamise edukuse. Niisiis, alustame selle imelise figuuri uurimist.
Võrdhaarse trapetsi elemendid ja omadused
Nagu me juba märkisime, on selle geomeetrilise kujundi küljed võrdsed. Seda tuntakse ka kui õiget trapetsi. Miks see nii tähelepanuväärne on ja miks see sellise nime sai? Selle joonise tunnuste hulka kuulub asjaolu, et mitte ainult aluste küljed ja nurgad on võrdsed, vaid ka diagonaalid. Samuti on võrdhaarse trapetsi nurkade summa 360 kraadi. Kuid see pole veel kõik! Kõigist teadaolevatest trapetsidest saab kirjeldada ringjoont ainult võrdhaarse ümber. See on tingitud asjaolust, et selle joonise vastasnurkade summa on 180 kraadi ja ainult sellel tingimusel saab nelinurka ümbritsevat ringi kirjeldada. Vaadeldava geomeetrilise kujundi järgmine omadus on see, et kaugus baastipust vastastipu projektsioonini seda alust sisaldavale sirgele on võrdne keskjoonega.
Nüüd mõtleme välja, kuidas leida võrdhaarse trapetsi nurki. Kaaluge selle probleemi lahendust, kui joonise külgede mõõtmed on teada.
Lahendus
Tavaliselt tähistatakse nelinurka tavaliselt tähtedega A, B, C, D, kus BS ja AD on alused. Võrdhaarse trapetsi küljed on võrdsed. Eeldame, et nende suurus on X ja aluste suurused on Y ja Z (vastavalt väiksemad ja suuremad). Arvutamiseks on vaja nurgast B tõmmata kõrgus H. Tulemuseks on täisnurkne kolmnurk ABN, kus AB on hüpotenuus ning BN ja AN on jalad. Arvutame jala AN suuruse: lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame tulemuse 2-ga. Kirjutame selle valemi kujul: (Z-Y) / 2 \u003d F. Nüüd arvutame kolmnurga teravnurk, kasutame funktsiooni cos. Saame järgmise kirje: cos(β) = Х/F. Nüüd arvutame nurga: β=arcos (Х/F). Lisaks, teades ühte nurka, saame määrata teise, selleks teostame elementaarse aritmeetilise toimingu: 180 - β. Kõik nurgad on määratletud.
Sellele probleemile on ka teine lahendus. Algul langetame kõrgust H nurgast B. Arvutame BN jala väärtuse. Teame, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne jalgade ruutude summaga. Saame: BN \u003d √ (X2-F2). Järgmisena kasutame trigonomeetrilist funktsiooni tg. Selle tulemusena saame: β = arctg (BN / F). Terav nurk leitud. Järgmisena määrame samamoodi nagu esimene meetod.
Võrdhaarse trapetsi diagonaalide omadus
Kõigepealt paneme kirja neli reeglit. Kui võrdhaarse trapetsi diagonaalid on risti, siis:
Joonise kõrgus võrdub kahega jagatud aluste summaga;
Selle kõrgus ja keskmine joon on võrdsed;
Ringi keskpunkt on punkt, kus ;
Kui külgkülg on jagatud kokkupuutepunktiga segmentideks H ja M, siis on see võrdne nende segmentide korrutise ruutjuurega;
Puutepunktidest, trapetsi tipust ja sisse kirjutatud ringi keskpunktist moodustatud nelinurk on ruut, mille külg võrdub raadiusega;
Figuuri pindala on võrdne aluste korrutisega ning poole aluste summa ja selle kõrguse korrutisega.
Sarnased trapetsid
Antud teema on väga mugav selle omaduste uurimiseks.Näiteks diagonaalid jagavad trapetsi neljaks kolmnurgaks ning alustega külgnevad kolmnurgad on sarnased ja külgedele võrdsed. Seda väidet võib nimetada kolmnurkade omaduseks, milleks trapets on jagatud diagonaalidega. Selle väite esimene osa on tõestatud kahe nurga sarnasuse kriteeriumi kaudu. Teise osa tõestamiseks on parem kasutada allpool toodud meetodit.
Teoreemi tõestus
Aktsepteerime, et joonis ABSD (AD ja BS - trapetsi alused) on jagatud diagonaalidega VD ja AC. Nende ristumispunkt on O. Saame neli kolmnurka: AOS - alumisel alusel, BOS - ülemisel alusel, ABO ja SOD külgedel. Kolmnurkadel SOD ja BOS on ühine kõrgus, kui lõigud BO ja OD on nende alused. Saame, et nende pindalade erinevus (P) on võrdne nende segmentide erinevusega: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Seetõttu PSOD = PBOS / K. Samamoodi on BOS- ja AOB-kolmnurkadel ühine kõrgus. Nende aluseks võtame segmendid CO ja OA. Saame PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K ja PAOB \u003d PBOS / K. Sellest järeldub, et PSOD = PAOB.
Materjali kinnistamiseks soovitatakse õpilastel leida seos saadud kolmnurkade pindalade vahel, milleks trapets on jagatud diagonaalidega, lahendades järgmise ülesande. On teada, et kolmnurkade BOS ja AOD pindalad on võrdsed, tuleb leida trapetsi pindala. Kuna PSOD \u003d PAOB, tähendab see, et PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Kolmnurkade BOS ja AOD sarnasusest järeldub, et BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Seetõttu PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Saame PSOD = √ (PBOS * PAOD). Siis PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
sarnasuse omadused
Selle teema arendamist jätkates saame tõestada teisi trapetsi huvitavaid omadusi. Seega saate sarnasust kasutades tõestada selle segmendi omadust, mis läbib punkti, mis on moodustatud selle geomeetrilise kujundi diagonaalide lõikepunktist paralleelselt alustega. Selleks lahendame järgmise ülesande: on vaja leida lõigu RK pikkus, mis läbib punkti O. Kolmnurkade AOD ja BOS sarnasusest järeldub, et AO/OS=AD/BS. Kolmnurkade AOP ja ASB sarnasusest järeldub, et AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Siit saame, et RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Samamoodi järeldub kolmnurkade DOK ja DBS sarnasusest, et OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Siit saame, et RO=OK ja RK=2*BS*AD/(BS+AD). Diagonaalide lõikepunkti läbiv, alustega paralleelne ja kahte külge ühendav segment jagatakse lõikepunktiga pooleks. Selle pikkus on joonise aluste harmooniline keskmine.
Vaatleme järgmist trapetsi omadust, mida nimetatakse nelja punkti omaduseks. Diagonaalide lõikepunktid (O), külgede jätkumise lõikepunktid (E), samuti aluste keskpunktid (T ja W) asuvad alati samal sirgel. Seda on lihtne tõestada sarnasuse meetodiga. Saadud kolmnurgad BES ja AED on sarnased ning mõlemas jagavad mediaanid ET ja EZH nurga tipus E võrdseteks osadeks. Seetõttu asuvad punktid E, T ja W samal sirgel. Samamoodi asuvad samal sirgel punktid T, O ja G. Kõik see tuleneb kolmnurkade BOS ja AOD sarnasusest. Sellest järeldame, et kõik neli punkti - E, T, O ja W - asuvad ühel sirgel.
Kasutades sarnaseid trapetse, võib õpilastel paluda leida lõigu pikkus (LF), mis jagab joonise kaheks sarnaseks. See segment peaks olema alustega paralleelne. Kuna saadud trapetsid ALFD ja LBSF on sarnased, siis BS/LF=LF/AD. Sellest järeldub, et LF=√(BS*BP). Saame, et lõigu, mis jagab trapetsi kaheks sarnaseks, pikkus on võrdne joonise aluste pikkuste geomeetrilise keskmisega.
Kaaluge järgmist sarnasuse omadust. See põhineb segmendil, mis jagab trapetsi kaheks võrdse suurusega kujundiks. Nõustume, et trapetsikujuline ABSD jagatakse segmendiga EN kaheks sarnaseks. Tipust B jäetakse välja kõrgus, mis jagatakse segmendiga EH kaheks osaks - B1 ja B2. Saame: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 ja PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Järgmisena koostame süsteemi, mille esimene võrrand on (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 ja teine (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Sellest järeldub, et B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ja BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Saame, et trapetsi kaheks võrdseks jagava lõigu pikkus võrdub aluste pikkuste keskmise ruuduga: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Sarnasuse järeldused
Seega oleme tõestanud, et:
1. Trapetsi külgede keskpunkte ühendav segment on paralleelne AD ja BS-ga ning võrdub BS ja AD aritmeetilise keskmisega (trapetsi aluse pikkus).
2. AD ja BS-ga paralleelsete diagonaalide lõikepunkti O läbiv sirge on võrdne arvude AD ja BS harmoonilise keskmisega (2 * BS * AD / (BS + AD)).
3. Lõigul, mis jagab trapetsi sarnasteks, on aluste BS ja AD geomeetrilise keskmise pikkus.
4. Elemendil, mis jagab kujundi kaheks võrdseks, on keskmiste ruutarvude AD ja BS pikkus.
Materjali kinnistamiseks ja vaadeldavate segmentide vahelise seose mõistmiseks peab õpilane need konkreetse trapetsi jaoks üles ehitama. Ta suudab hõlpsasti kuvada keskjoont ja lõiku, mis läbib punkti O - joonise diagonaalide ristumiskohta - paralleelselt alustega. Aga kuhu jäävad kolmas ja neljas? See vastus viib õpilase soovitud seose avastamiseni keskmiste vahel.
Lõik, mis ühendab trapetsi diagonaalide keskpunkte
Mõelge selle joonise järgmisele omadusele. Nõustume, et segment MH on alustega paralleelne ja poolitab diagonaalid. Nimetagem ristumispunkte W ja W. See segment on võrdne aluste poole vahega. Analüüsime seda üksikasjalikumalt. MSH - kolmnurga ABS keskmine joon, see on võrdne BS / 2-ga. MS - kolmnurga ABD keskjoon, see on võrdne AD / 2-ga. Siis saame, et ShShch = MShch-MSh, seega Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.
Raskuskese
Vaatame, kuidas see element antud geomeetrilise kujundi jaoks määratakse. Selleks on vaja aluseid vastassuundades pikendada. Mida see tähendab? Alumine alus on vaja lisada ülemisele alusele - ükskõik millisele küljele, näiteks paremale. Ja alumine osa pikeneb ülaosa pikkuse võrra vasakule. Järgmisena ühendame need diagonaaliga. Selle lõigu lõikepunkt joonise keskjoonega on trapetsi raskuskese.
Sissekirjutatud ja piiritletud trapetsid
Loetleme selliste kujundite omadused:
1. Trapetsi saab kirjutada ainult siis, kui see on võrdhaarne.
2. Trapetsi saab kirjeldada ümber ringi, eeldusel, et nende aluste pikkuste summa on võrdne külgede pikkuste summaga.
Sisse kirjutatud ringi tagajärjed:
1. Kirjeldatud trapetsi kõrgus on alati võrdne kahe raadiusega.
2. Kirjeldatud trapetsi külgmist külge vaadeldakse ringi keskpunktist täisnurga all.
Esimene tagajärg on ilmne ja teise tõestamiseks on vaja kindlaks teha, et SOD-nurk on õige, mis tegelikult ei ole samuti keeruline. Kuid selle omaduse tundmine võimaldab meil probleemide lahendamisel kasutada täisnurkset kolmnurka.
Nüüd täpsustame need tagajärjed võrdhaarse trapetsi jaoks, mis on kirjutatud ringi. Saame, et kõrgus on joonise aluste geomeetriline keskmine: H=2R=√(BS*AD). Harjutades trapetsi ülesannete lahendamise põhitehnikat (kahe kõrguse joonistamise põhimõte), peab õpilane lahendama järgmise ülesande. Aktsepteerime, et BT on võrdhaarse kujundi ABSD kõrgus. On vaja leida segmendid AT ja TD. Kasutades ülalkirjeldatud valemit, pole seda keeruline teha.
Nüüd mõtleme välja, kuidas määrata ringi raadius, kasutades piiritletud trapetsi pindala. Langetame kõrguse tipust B AD alusele. Kuna ring on kirjutatud trapetsi, siis BS + AD \u003d 2AB või AB \u003d (BS + AD) / 2. Kolmnurgast ABN leiame sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Saame PABSD \u003d (BS + HELL) * R, sellest järeldub, et R \u003d PABSD / (BS + HELL).
Kõik trapetsi keskjoone valemid
Nüüd on aeg liikuda selle geomeetrilise kujundi viimase elemendi juurde. Mõelgem välja, millega võrdub trapetsi keskjoon (M):
1. Läbi aluste: M \u003d (A + B) / 2.
2. Läbi kõrgus, alus ja nurgad:
M \u003d A-H* (ctgα + ctgβ) / 2;
M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Läbi kõrgus, diagonaalid ja nendevaheline nurk. Näiteks D1 ja D2 on trapetsi diagonaalid; α, β - nendevahelised nurgad:
M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinp/2H.
4. Läbi pindala ja kõrgus: M = P / N.
Laadimine...
