Arvude korrutamine astmes. Erinevate alustega astmete korrutamise reegel
Iga aritmeetiline tehe muutub mõnikord salvestamiseks liiga tülikaks ja nad püüavad seda lihtsustada. Varem oli samamoodi liitmisoperatsiooniga. Inimestel oli vaja teha korduvaid sama tüüpi lisamisi, näiteks arvutada saja Pärsia vaiba maksumus, mille maksumus on 3 kuldmünti iga kohta. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Suuruse tõttu arvati, et tähistus tuleb vähendada 3 * 100 = 300-ni. Tegelikult tähendab tähistus "kolm korda sada" seda, et peate võtma sada kolmikut ja liita need kokku. Korrutamine juurdus, saavutas üldise populaarsuse. Kuid maailm ei seisa paigal ja keskajal tekkis vajadus läbi viia sama tüüpi korduv korrutamine. Meenub üks vana India mõistatus targa kohta, kes küsis tehtud töö eest tasu nisuterasid järgmises koguses: malelaua esimese lahtri eest küsis ta ühte tera, teise - kaks, kolmanda - neli, viies - kaheksa jne. Nii tekkis esimene astmete korrutis, sest terade arv oli võrdne kahega rakuarvu astmega. Näiteks viimases lahtris oleks 2*2*2*…*2 = 2^63 tera, mis võrdub 18 tähemärgi pikkusega, mis tegelikult on mõistatuse tähendus.
Üsna kiiresti juurdus astmele tõstmise operatsioon, samuti tekkis kiiresti vajadus teostada kraadide liitmist, lahutamist, jagamist ja korrutamist. Viimast tasub üksikasjalikumalt kaaluda. Võimude lisamise valemid on lihtsad ja kergesti meeldejäävad. Lisaks on väga lihtne aru saada, kust need tulevad, kui võimsusoperatsioon asendada korrutamisega. Kuid kõigepealt peate mõistma elementaarset terminoloogiat. Avaldis a ^ b (loe "a astmeni b") tähendab, et arv a tuleks korrutada iseendaga b korda ja "a" nimetatakse astme baasiks ja "b" on astendaja. Kui astmete alused on samad, siis tuletatakse valemid üsna lihtsalt. Konkreetne näide: leidke avaldise 2^3 * 2^4 väärtus. Et teada saada, mis peaks juhtuma, peaksite enne lahenduse alustamist arvutist vastuse välja selgitama. Kui sisestate selle avaldise mis tahes veebikalkulaatorisse, otsingumootorisse, tippige "erinevate alustega ja sama astmete korrutamine" või matemaatilisse paketti, on väljundiks 128. Nüüd kirjutame selle avaldise: 2^3 = 2*2*2, ja 2^4 = 2*2*2*2. Selgub, et 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Selgub, et sama baasiga astmete korrutis on võrdne baasiga, mis on tõstetud astmeni, mis on võrdne kahe eelmise astme summaga.
Võib arvata, et see on õnnetus, aga ei: iga teine näide võib seda reeglit ainult kinnitada. Seega näeb valem üldiselt välja selline: a^n * a^m = a^(n+m) . Kehtib ka reegel, et mis tahes arv nullastmeni on võrdne ühega. Siin tuleks meeles pidada negatiivsete jõudude reeglit: a^(-n) = 1 / a^n. See tähendab, et kui 2^3 = 8, siis 2^(-3) = 1/8. Seda reeglit kasutades saame tõestada võrdsust a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) saab taandada ja jääb üheks. Sellest tuleneb reegel, et samade alustega astmete jagatis on võrdne selle baasiga määral, mis on võrdne dividendi ja jagaja jagatisega: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Näide: lihtsustage avaldist 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Korrutamine on kommutatiivne tehe, seega tuleb esmalt lisada korrutamise astendajad: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Järgmisena peaksite tegelema negatiivse astme järgi jagamisega. Dividendieksponendist on vaja lahutada jagaja astendaja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. selgub, et negatiivse astmega jagamise tehe on identne sarnase positiivse astendajaga korrutamise operatsiooniga. Seega on lõplik vastus 8.
On näiteid, kus jõudude mittekanooniline korrutamine toimub. Võimude korrutamine erinevate alustega on sageli palju keerulisem ja mõnikord isegi võimatu. Tuleks tuua mitmeid näiteid erinevatest võimalikest lähenemisviisidest. Näide: lihtsustage avaldist 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Ilmselgelt toimub astmete korrutis erinevate alustega. Kuid tuleb märkida, et kõik alused on kolmiku erinevad võimsused. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Kasutades reeglit (a^n) ^m = a^(n*m) , peaksite avaldise mugavamal kujul ümber kirjutama: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Vastus: 3^11. Juhtudel, kus on erinevad alused, töötab võrdsete näitajate puhul reegel a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n. Näiteks 3^3 * 7^3 = 21^3. Vastasel juhul, kui on erinevad alused ja indikaatorid, pole täielikku korrutamist võimalik teha. Mõnikord saate seda osaliselt lihtsustada või kasutada arvutitehnoloogiat.
Viimases videoõpetuses saime teada, et teatud baasi aste on avaldis, mis on aluse ja enda korrutis, mis on võetud eksponendiga võrdses koguses. Uurime nüüd mõningaid jõudude kõige olulisemaid omadusi ja toiminguid.
Näiteks korrutame kaks erinevat võimsust sama baasiga:
Vaatame seda tükki tervikuna:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Arvutades selle avaldise väärtuse, saame arvu 32. Teisest küljest, nagu samast näitest näha, võib 32 esitada sama aluse (kahe) korrutisena, võttes 5 korda. Ja tõepoolest, kui arvestada, siis:
Seega võib julgelt järeldada, et:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
See reegel töötab edukalt kõigi näitajate ja põhjuste puhul. See astme korrutamise omadus tuleneb väljendite tähenduse säilimise reeglist korrutise teisenduste ajal. Iga aluse a korral on kahe avaldise (a) x ja (a) y korrutis võrdne a (x + y). Teisisõnu, kui luuakse mis tahes sama alusega avaldisi, on lõppmonoomil summaarne aste, mis moodustatakse esimese ja teise avaldise astme liitmisel.
Esitatud reegel töötab suurepäraselt ka mitme avaldise korrutamisel. Peamine tingimus on, et alused oleksid kõigil ühesugused. Näiteks:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Kahe avaldise elemendiga on võimatu astmeid lisada ja üldiselt mingeid jõulisi ühistegevusi läbi viia, kui nende alused on erinevad.
Nagu meie video näitab, on korrutamise ja jagamise protsesside sarnasuse tõttu korrutise ajal võimsuste lisamise reeglid suurepäraselt üle kantud jagamisprotseduurile. Mõelge sellele näitele:
Teisendame avaldise terminikaupa täiskujuks ja vähendame dividendis ja jagajas samu elemente:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Selle näite lõpptulemus pole nii huvitav, sest juba selle lahendamise käigus on selge, et avaldise väärtus võrdub kahe ruuduga. Ja see on kahend, mis saadakse, lahutades teise avaldise astme esimese astmest.
Jagatise astme määramiseks on vaja dividendi astmest lahutada jagaja aste. Reegel töötab samadel alustel kõigi oma väärtuste ja kõigi looduslike jõudude jaoks. Abstraktsel kujul on meil:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Nullkraadi määratlus tuleneb identsete aluste astmetega jagamise reeglist. Ilmselgelt on järgmine väljend:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Teisest küljest, kui jagame visuaalsemalt, saame:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Murru kõigi nähtavate elementide vähendamisel saadakse alati avaldis 1/1, st üks. Seetõttu on üldiselt aktsepteeritud, et iga nullvõimsuseni tõstetud baas võrdub ühega:
Sõltumata a väärtusest.
Siiski oleks absurdne, kui 0 (mis annab ikkagi 0 iga korrutamise korral) on kuidagi võrdne ühega, nii et avaldis nagu (0) 0 (null kuni null kraadini) pole lihtsalt mõttekas ja valemile (a) 0 = 1 lisage tingimus: "kui a ei ole 0".
Teeme harjutust. Leiame avaldise väärtuse:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Kuna baas on kõikjal sama ja võrdub 34-ga, on lõppväärtusel sama baas kraadiga (vastavalt ülaltoodud reeglitele):
Teisisõnu:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Vastus: Avaldis võrdub ühega.
Tund teemal: "Samade ja erinevate astendajatega astmete korrutamise ja jagamise reeglid. Näited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 7. klassile
Käsiraamat õpiku Yu.N. Makarycheva käsiraamat õpiku A.G. Mordkovitš
Tunni eesmärk: õppida sooritama tehteid arvu astmetega.
Alustuseks meenutagem mõistet "arvu võimsus". Avaldist nagu $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ saab esitada kui $a^n$.
Tõsi on ka vastupidine: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Seda võrdsust nimetatakse "kraadi registreerimiseks tootena". See aitab meil otsustada, kuidas võimeid korrutada ja jagada.
Pidage meeles:
a- kraadi alus.
n- eksponent.
Kui n = 1, mis tähendab numbrit A võetud üks kord ja vastavalt: $a^n= 1$.
Kui n = 0, siis $a^0= 1$.
Miks see juhtub, saame teada, kui tutvume võimude korrutamise ja jagamise reeglitega.
korrutamisreeglid
a) Kui korrutada sama baasiga astmed.$a^n * a^m$ kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Joonisel on näha, et number A on võtnud n+m korda, siis $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Näide.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Seda omadust on mugav kasutada töö lihtsustamiseks arvu suure võimsuseni tõstmisel.
Näide.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Kui astmed korrutatakse erineva alusega, kuid sama astendajaga.
$a^n * b^n$ kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Kui vahetame tegurid ja loendame saadud paarid, saame: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Seega $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Näide.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
jagamise reeglid
a) Astme alus on sama, astendajad erinevad.Kaaluge astme jagamist suurema astendajaga, jagades astme väiksema astendajaga.
Niisiis, see on vajalik $\frac(a^n)(a^m)$, Kus n>m.
Kirjutame kraadid murdudena:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Mugavuse huvides kirjutame jaotuse lihtmurruna.Nüüd vähendame murdosa.
Selgub: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Tähendab, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
See omadus aitab selgitada olukorda numbri tõstmisel nulli astmeni. Oletame, et n=m, siis $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Näited.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Kraadi alused on erinevad, näitajad samad.
Oletame, et vajate $\frac(a^n)(b^n)$. Kirjutame arvude astmed murruna:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Mugavuse huvides kujutame ette.
Murdude omadust kasutades jagame suure murdosa väikeste korrutiseks, saame.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Vastavalt: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Näide.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Ilmselgelt saab astmetega numbreid liita nagu teisigi suurusi , lisades need ükshaaval koos nende märkidega.
Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Koefitsiendid samade muutujate samad astmed saab liita või lahutada.
Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2 .
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb lisada, lisades need nende märkidele.
Seega on 2 ja 3 summa 2 + a 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole kaks korda a ruut, vaid kaks korda suurem kuup a.
A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, ainult et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Võimsuse korrutamine
Pädevustega arve saab korrutada nagu teisigi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.
Seega on a 3 korrutamise tulemus b 2-ga a 3 b 2 või aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a
Viimase näite tulemuse saab järjestada samade muutujate lisamisega.
Avaldis on järgmisel kujul: a 5 b 5 y 3 .
Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.
Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.
Niisiis, a n .a m = a m+n .
A n korral võetakse a teguriks nii mitu korda, kui palju on n võimsus;
Ja a m , võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;
Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada eksponentide liitmise teel.
Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on - negatiivne.
1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.
Kui kahe arvu summa ja vahe tõstetakse väärtuseni ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadi.
Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Kraadide jaotus
Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades jagajast või paigutades need murru kujul.
Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga a 3 .
Või:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5 jagatuna 3-ga kirjutades näeb välja selline $\frac(a^5)(a^3)$. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.
Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid..
Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . See tähendab, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Või:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadi väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga saadakse -2 .
Samuti $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Võimude korrutamist ja jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega
1. Vähendage eksponente väärtuses $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastus: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Vähendage eksponente väärtuses $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastus: $\frac(2x)(1)$ või 2x.
3. Vähendage eksponendid a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .
4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.
6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).
7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .
8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.
9. Jagage (h 3 – 1)/d 4 arvuga (d n + 1)/h.
Astmete liitmine ja lahutamine
Ilmselgelt saab astmetega numbreid liita nagu teisigi suurusi , lisades need ükshaaval koos nende märkidega.
Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.
Koefitsiendid samade muutujate samad astmed saab liita või lahutada.
Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2 .
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb lisada, lisades need nende märkidele.
Seega on 2 ja 3 summa 2 + a 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole kaks korda a ruut, vaid kaks korda suurem kuup a.
A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, ainult et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Võimsuse korrutamine
Pädevustega arve saab korrutada nagu teisigi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.
Seega on a 3 korrutamise tulemus b 2-ga a 3 b 2 või aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a
Viimase näite tulemuse saab järjestada samade muutujate lisamisega.
Avaldis on järgmisel kujul: a 5 b 5 y 3 .
Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.
Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.
Niisiis, a n .a m = a m+n .
A n korral võetakse a teguriks nii mitu korda, kui palju on n võimsus;
Ja a m , võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;
Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada eksponentide liitmise teel.
Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on − negatiivne.
1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.
Kui kahe arvu summa ja vahe tõstetakse väärtuseni ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadi.
Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Kraadide jaotus
Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades jagajast või paigutades need murru kujul.
Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga a 3 .
5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.
Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid..
Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . See tähendab, $\frac = y$.
Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.
Või:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadi väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga saadakse -2 .
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Võimude korrutamist ja jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega
1. Vähenda eksponente väärtuses $\frac $ Vastus: $\frac $.
2. Vähendage eksponente väärtuses $\frac$. Vastus: $\frac $ või 2x.
3. Vähendage eksponendid a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .
4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.
6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).
7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .
8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.
kraadi omadused
Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadi omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete näitajatega kraadidest ja nende omadustest räägitakse 8. klassi õppetundides.
Naturaalse astendajaga eksponendil on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astendajanäidetes arvutusi lihtsustada.
Kinnistu nr 1
Võimude toode
Kui korrutada astmed sama alusega, jääb alus muutumatuks ja astendajad liidetakse.
a m a n \u003d a m + n, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
See võimsuste omadus mõjutab ka kolme või enama võimsuse korrutist.
- Lihtsustage väljendit.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Esitada kraadina.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Esitada kraadina.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Kirjutage jagatis astmena
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Arvutama.
Pange tähele, et näidatud vara puhul oli tegemist ainult võimsuste korrutamisega samade alustega.. See ei kehti nende lisamise kohta.
Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243
Kinnistu nr 2
Erakraadid
Jagades astmeid sama alusega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame osakraadide omadust.
3 8: t = 3 4
Vastus: t = 3 4 = 81
Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.
Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Näide. Leidke avaldise väärtus kraadiomaduste abil.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pange tähele, et vara 2 käsitles ainult volituste jaotamist samadel alustel.
Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4
Kinnistu nr 3
Astendamine
Kui tõstetakse aste astmeks, jääb astme baas muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.
(a n) m \u003d a n m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.
Kuidas võimeid korrutada
Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?
Algebras leiate astmete korrutise kahel juhul:
1) kui kraadidel on sama alus;
2) kui kraadidel on samad näitajad.
Kui korrutada astmeid sama alusega, peab alus jääma samaks ja astendajad tuleb liita:
Kraadide korrutamisel samade näitajatega saab kogunäidiku sulgudest välja võtta:
Mõelge konkreetsete näidetega, kuidas võimeid korrutada.
Astendaja ühikut ei kirjutata, kuid kraadide korrutamisel võtavad nad arvesse:
Korrutamisel võib kraadide arv olla ükskõik milline. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei saa kirjutada korrutusmärki:
Avaldistes tehakse esimesena eksponentsiatsioon.
Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peate esmalt sooritama astenduse ja alles seejärel korrutama:
Võimuste korrutamine sama alusega
See videoõpetus on saadaval tellimisel
Kas teil on juba tellimus? Tulla sisse
Selles õppetükis õpime, kuidas korrutada võimsusi sama alusega. Esiteks tuletame meelde astme definitsiooni ja sõnastame teoreemi võrdsuse kehtivuse kohta . Seejärel toome näiteid selle rakendamisest konkreetsetele numbritele ja tõestame seda. Samuti rakendame teoreemi erinevate ülesannete lahendamiseks.
Teema: Loodusnäitaja ja selle omadustega kraad
Õppetund: astmete korrutamine samade alustega (valem)
1. Põhimõisted
Põhimääratlused:
n- eksponent,
— n-arvu aste.
2. 1. teoreemi väide
1. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Teisisõnu: kui A- mis tahes arv; n Ja k naturaalarvud, siis:
Seega reegel 1:
3. Ülesannete selgitamine
Järeldus: erijuhud kinnitasid teoreemi nr 1 õigsust. Tõestagem seda üldjuhul, see tähendab mis tahes puhul A ja mis tahes loomulik n Ja k.
4. 1. teoreemi tõestus
Antud number A- mis tahes; numbrid n Ja k- loomulik. Tõesta:
Tõestus põhineb kraadi määratlusel.
5. Näidete lahendamine teoreemi 1 abil
Näide 1: Esitada kraadina.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 1.
ja) 
6. 1. teoreemi üldistus
Siin on üldistus:
7. Näidete lahendamine teoreemi 1 üldistuse abil
8. Erinevate ülesannete lahendamine teoreemi 1 abil
Näide 2: Arvutage (saate kasutada põhikraadide tabelit).
A) 
(tabeli järgi)
b) 
Näide 3: Kirjutage astmena alusega 2.
A) 
Näide 4: Määrake numbri märk:
, A - negatiivne, sest eksponent –13 juures on paaritu.
Näide 5: Asendage ( ) alusega võimsusega r:
Meil on, see tähendab.
9. Kokkuvõtete tegemine
1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. jt Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta
1. Kooli assistent (Allikas).
1. Väljendage kraadina:
a B C D E) 
3. Kirjutage astmena 2. alusega:
4. Määrake numbri märk:
A) 
5. Asendage ( ) arvu astmega alusega r:
a) r 4 ( ) = r 15; b) ( ) r 5 = r 6
Võimude korrutamine ja jagamine samade astendajatega
Selles õppetükis uurime astmete korrutamist samade astendajatega. Kõigepealt tuletame meelde põhimääratlusi ja teoreeme samade alustega astmete korrutamise ja jagamise ning astme astmeks tõstmise kohta. Seejärel formuleerime ja tõestame teoreemid astmete korrutamise ja jagamise kohta samade astendajatega. Ja siis lahendame nende abiga mitmeid tüüpilisi probleeme.
Põhimõistete ja teoreemide meeldetuletus
Siin a- kraadi alus
— n-arvu aste.
1. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Sama alusega astmete korrutamisel liidetakse eksponendid, alus jääb muutumatuks.
2. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k, selline, et n > k võrdsus on tõsi:
Jagades astmeid sama alusega, lahutatakse eksponendid ja alus jääb muutumatuks.
3. teoreem. Mis tahes numbri jaoks A ja mis tahes loomulik n Ja k võrdsus on tõsi:
Kõik ülaltoodud teoreemid puudutasid samasuguseid võimsusi põhjustel, selles õppetükis vaadeldakse kraade samaga näitajad.
Näited astmete korrutamiseks samade astendajatega
Mõelge järgmistele näidetele.
Kirjutame välja astme määramise avaldised.
Järeldus: Näidetest näete seda 
, kuid see vajab veel tõestamist. Sõnastame teoreemi ja tõestame selle üldjuhul, see tähendab mis tahes puhul A Ja b ja mis tahes loomulik n.
Lause 4 väide ja tõestus
Mis tahes numbrite jaoks A Ja b ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 4. teoreem .
Kraadi määratluse järgi:
Seega oleme seda tõestanud .
Et korrutada astmed sama astendajaga, piisab aluste korrutamisest ja eksponendi muutmata jätmisest.
5. teoreemi väide ja tõestus
Sõnastame teoreemi astmete jagamiseks samade astendajatega.
Mis tahes numbri jaoks A Ja b() ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 5. teoreem .
Kirjutame üles ja kraadi määratluse järgi:
Teoreemide sõnastus sõnades
Nii et me oleme seda tõestanud.
Samade astendajatega kraadide üksteiseks jagamiseks piisab, kui jagada üks alus teisega ja jätta eksponent muutmata.
Tüüpiülesannete lahendamine teoreemi 4 abil
Näide 1: Väljenda kui jõudude korrutis.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 4.
Järgmise näite lahendamiseks tuletage meelde valemid:
4. teoreemi üldistus
4. teoreemi üldistus:
Näidete lahendamine üldistatud teoreemi 4 abil
Jätkas tüüpiliste probleemide lahendamist
Näide 2: Kirjutage toote kraadina.
Näide 3: Kirjutage astmena, mille astendaja on 2.
Arvutamise näited
Näide 4: Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja teised Algebra 7 .M .: Haridus. 2006
2. Kooli abiline (Allikas).
1. Esitage võimsuste korrutisena:
A) ; b) ; V) ; G) ;
2. Kirjutage toote määr:
3. Kirjutage kraadi kujul indikaatoriga 2:
4. Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
Matemaatika tund teemal "Võimude korrutamine ja jagamine"
Sektsioonid: Matemaatika
Pedagoogiline eesmärk:
Ülesanded:
Õpetuse tegevusühikud: astme määramine loomuliku indikaatoriga; kraadi komponendid; eraelu määratlus; korrutamise assotsiatiivne seadus.
I. Olemasolevate teadmiste omandamise demonstratsiooni korraldamine õpilaste poolt. (samm 1)
a) teadmiste värskendamine:
2) Sõnasta astme määratlus loomuliku näitajaga.
a n \u003d a a a a ... a (n korda)
b k \u003d b b b b a ... b (k korda) Põhjenda oma vastust.
II. Koolitatava enesehindamise korraldamine vastava kogemuse omamise astme järgi. (samm 2)
Enesekontrolli test: (individuaalne töö kahes versioonis.)
A1) Väljendage korrutist 7 7 7 7 x x x võimsusena:
A2) Väljendage korrutisena kraadi (-3) 3 x 2
A3) Arvutage: -2 3 2 + 4 5 3
Testis valin ülesannete arvu vastavalt klassitaseme ettevalmistusele.
Testi jaoks annan enesetestimise võtme. Kriteerium: läbitud-ebaõnnestunud.
III. Õppe- ja praktiline ülesanne (3. samm) + 4. etapp (omadused sõnastavad õpilased ise)
Ülesannete 1) ja 2) lahendamise käigus pakuvad õpilased välja lahenduse ning mina õpetajana korraldan tunni, et leida võimalus samade alustega korrutamisel volituste lihtsustamiseks.
Õpetaja: leidke viis, kuidas sama alusega korrutamisel volitusi lihtsustada.
Klastris kuvatakse kirje:
Tunni teema on sõnastatud. Võimude korrutamine.
Õpetaja: pakkuge välja reegel kraadide jagamiseks samade alustega.
Põhjendus: milline tegevus kontrollib jagunemist? a 5: a 3 = ? et a 2 a 3 = a 5
Naasen skeemi - klastri juurde ja täiendan kirjet - ..jagamisel lahutage ja lisage tunni teema. ...ja kraadide jagamine.
IV. Suhtlemine õpilastega teadmiste piiridest (minimaalselt ja maksimumina).
Õpetaja: tänase tunni miinimumi ülesanne on õppida rakendama astmete korrutamise ja jagamise omadusi samade alustega ning maksimumi: korrutamist ja jagamist koos rakendada.
Kirjuta tahvlile : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Uue materjali uurimise korraldus. (5. samm)
a) Õpiku järgi: nr 403 (a, c, e) erineva sõnastusega ülesanded
Nr 404 (a, e, f) iseseisev töö, siis korraldan vastastikuse kontrolli, annan võtmed.
b) Millise m väärtuse korral kehtib võrdsus? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Ülesanne: leidke sarnaseid näiteid jagamiseks.
c) nr 417(a), nr 418(a) Lõksud õpilastele: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = 2.
VI. Õpitust kokkuvõtete tegemine, diagnostilise töö läbiviimine (mis julgustab õpilasi, mitte õpetajaid seda teemat uurima) (6. samm)
diagnostiline töö.
Test( asetage võtmed testi tagaküljele).
Ülesande valikud: esitada kraadina jagatis x 15: x 3; esindama astmena korrutist (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; mille m on võrdus a 16 a m = a 32 tõene; leida avaldise h 0: h 2 väärtus, kus h = 0,2; arvuta avaldise väärtus (5 2 5 0) : 5 2 .
Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus. Jagan klassi kahte rühma.
Leidke I rühma argumendid: astme omaduste tundmise kasuks ja II rühma argumendid, mis ütlevad, et saate ilma omadusteta hakkama. Kuulame kõik vastused, teeme järeldused. Järgmistes tundides saate pakkuda statistilisi andmeid ja nimetada rubriiki "See ei mahu mulle pähe!"
VII. Kodutöö.
Ajalooline viide. Milliseid numbreid nimetatakse Fermat' numbriteks.
P.19. #403, #408, #417
Kasutatud raamatud:
Kraadide omadused, sõnastused, tõestused, näited.
Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvu astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin anname tõestused kõigi astme omaduste kohta ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel rakendatakse.
Leheküljel navigeerimine.
Loodusnäitajatega kraadide omadused
Loodusliku astendajaga astme definitsiooni järgi on a n astme n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a . Selle määratluse põhjal ja kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:
- kui a>0 , siis a n >0 mis tahes loomuliku n korral;
- kui a=0, siis a n=0;
- kui a 2 m >0 , kui a 2 m−1 n ;
- kui m ja n on sellised naturaalarvud, et m>n , siis 0m n ja a>0 korral on võrratus a m >a n tõene.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n;
- (a:b) n =a n:bn;
- (a m) n = a mn;
- kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a n n ja a−n>b−n ;
- kui m ja n on täisarvud ja m>n , siis 0m n ja a>1 korral on võrratus a m >a n täidetud.
Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel ning nende paremat ja vasakpoolset osa saab vahetada. Näiteks murdosa a m a n = a m + n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n = a m a n .
Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.
Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.
Tõestame kraadi peamist omadust. Loodusliku astendajaga astme määratluse järgi saab korrutisena kirjutada astmete korrutise vormi a m a n samade alustega 
. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul 
, ja see korrutis on a aste naturaalse astendajaga m+n , st a m+n . See lõpetab tõestuse.
Toome näite, mis kinnitab kraadi peamist omadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning loomulike astmetega 2 ja 3, vastavalt astme põhiomadusele saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Kontrollime selle kehtivust, mille jaoks arvutame avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamisel saame 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ja 2 5 =2 2 2 2 2=32, kuna saame võrdsed väärtused, siis võrdus 2 2 2 3 = 2 5 on tõene ja see kinnitab kraadi peamist omadust.
Korrutamise omadustel põhineva astme põhiomaduse saab üldistada kolme või enama astme korrutisele samade aluste ja naturaalastendajatega. Seega on naturaalarvude n 1 , n 2 , …, n k mis tahes arvu k korral tõene võrdus a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Näiteks (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Järgmise kraadi omaduse juurde saate liikuda loomuliku indikaatoriga - samade alustega osavõimude omand: mis tahes nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.
Enne selle omaduse tõendamist arutleme sõnastuse lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, m>n korral on eksponent a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub, kui m-n) või negatiivne arv (mis juhtub, kui m m-n a n =a (m-n) + n = a m Saadud võrrandist a m−n a n = a m ja korrutamise ja jagamise seosest järeldub, et a m−n on a m ja a n osavõimsus See tõestab samade alustega osavõimsuste omadust.
Võtame näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldav omadus vastab võrdusele π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Nüüd kaaluge tootekraadi omadus: mistahes kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik aste n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a b) n =a n b n .
Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on see meil olemas 
. Viimase korrutise saab korrutamise omaduste põhjal ümber kirjutada kui 
, mis on võrdne a n b n .
Siin on näide: 
.
See omadus ulatub kolme või enama teguri korrutise astmeni. See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastmeomadus n on kirjas kujul (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis astmega 7 on meil .
Järgmine vara on loodusvara: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, ehk (a:b) n =a n:b n .
Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Seega (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ja võrrandist (a:b) n b n =a n järeldub, et (a:b) n on a n ja b n jagatis.
Kirjutame selle omaduse konkreetsete numbrite näitel: 
.
Nüüd anname hääle astendamise omadus: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme aste n astmega a astmega a astendajaga m·n, st (a m) n =a m·n .
Näiteks (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Võimuomaduse tõestuseks kraadis on järgmine võrdsuste ahel: 
.
Vaadeldavat omadust saab laiendada kraadi piires kraadi sees jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus 
. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.
Alustame nulli ja astme võrdlusomaduse tõestamisest naturaalastendajaga.
Esiteks põhjendame, et a n >0 iga a>0 korral.
Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused võimaldavad meil väita, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse aluse a korral on a n aste positiivne arv. Tõestatud omaduse alusel 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ja 
.
On üsna ilmne, et iga loomuliku n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0 .
Liigume edasi negatiivsete aluste juurde.
Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda kui 2 m , kus m on naturaalarv. Siis 
. Negatiivsete arvude korrutamise reegli kohaselt on iga vormi a a korrutis võrdne arvu a ja a moodulite korrutisega, mis tähendab, et tegemist on positiivse arvuga. Seetõttu on toode ka positiivne. 
ja aste a 2 m . Siin on näited: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .
Lõpuks, kui a alus on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis 
. Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Selle omaduse tõttu on (−5) 3 17 n n tõelise ebavõrdsuse a vasaku ja parema osa korrutis. võrratuste omadused, tõestatav ebavõrdsus on kujul a n n . Näiteks sellest omadusest tulenevalt ebavõrdsused 3 7 7 ja 
.
Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega. Sõnastame selle. Kahest naturaalnäitajatega ja samade positiivsete alustega kraadist, alla ühe, on aste suurem, mille näitaja on väiksem; ja kahe kraadi puhul, mille loomulikud näitajad ja samad alused on suuremad kui üks, on suurem kraad, mille näitaja on suurem. Pöördume selle vara tõendi poole.
Tõestame, et m>n ja 0m n korral. Selleks kirjutame erinevuse a m − a n ja võrdleme seda nulliga. Kirjalik erinevus pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . Saadud korrutis on negatiivne positiivse arvu a n ja negatiivse arvu a m−n −1 korrutisena (a n on positiivne positiivse arvu loomuliku astmena ja erinevus a m−n −1 on negatiivne, kuna m−n >0 algtingimuse m>n tõttu, millest järeldub, et 0m−n korral on see väiksem kui üks). Seetõttu a m − a n m n , mida tuli tõestada. Näiteks anname õige ebavõrdsuse.
Tõendada jääb vara teine osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on a n aste positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 algtingimuse tõttu ja a>1 korral, a m−n aste on suurem kui üks . Seetõttu a m − a n >0 ja a m >a n , mida tuli tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 >3 2 .
Täisarvuliste astendajatega kraadide omadused
Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, langevad kõik positiivsete täisarvuliste astendajatega astmete omadused täpselt kokku eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.
Defineerisime nii negatiivse täisarvulise astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme, nii et kõik võrdustega väljendatud naturaalastendajatega kraadide omadused jäävad kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui kraadide alused on loomulikult nullist erinevad.
Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised Täisarvuliste astendajatega kraadide omadused:
Kui a=0 on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad just kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.
Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada astme määratlusi naturaal- ja täisarvuga astendajaga, aga ka reaalarvudega toimingute omadusi. Näitena tõestame, et võimsusomadus kehtib nii positiivsete kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks peame näitama, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ja (a −p) −q =a (−p) (−q) . Teeme seda.
Positiivsete p ja q korral tõestati eelmises alapeatükis võrdsus (a p) q =a p·q. Kui p=0 , siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0 q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0 q . Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p 0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p 0 . Kui nii p=0 kui ka q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0 0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0 0.
Tõestame nüüd, et (a −p) q =a (−p) q . Negatiivse täisarvu eksponendiga astme määratluse järgi siis 
. Jagatise omaduse järgi astmes on meil 
. Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane avaldis on definitsiooni järgi kujul a −(p q) , mille saab korrutusreeglite kohaselt kirjutada kui (−p) q .
Samamoodi 
.
JA 
.
Samal põhimõttel saab astme kõiki teisi omadusi tõestada täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.
Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille tingimus a . Kirjutame ja teisendame selle ebavõrdsuse vasaku ja parema osa erinevuse: 
. Kuna tingimusel a n n seega b n − a n >0 . Korrutis a n ·b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutisena. Siis on saadud murd positiivne positiivsete arvude b n − a n ja a n b n jagatisena. Siit ka a −n >b −n , mida tuli tõestada.
Täisarvuliste astendajatega kraadide viimane omadus tõestatakse samamoodi nagu naturaalsete astendajatega kraadide analoogne omadus.
Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused
Määratlesime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdosaastendajatega kraadidel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega kraadidel. Nimelt:
- sama baasiga astmete korrutise omadus
kui a>0 , ja kui ja , siis kui a≥0 ; - samade alustega osavõimude omadus
a>0 jaoks; - murdosa toote omadus
a>0 ja b>0 korral ning kui ja , siis a≥0 ja (või) b≥0 korral; - jagatisomadus murdarvuks
a>0 ja b>0 korral ning kui , siis a≥0 ja b>0 korral; - kraadiomadus kraadis
kui a>0 , ja kui ja , siis kui a≥0 ; - astmete võrdlemise omadus võrdsete ratsionaalsete astendajatega: mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 kehtib võrratus a p p ja p p >b p korral;
- astmete võrdlemise omadus ratsionaalsete eksponentide ja võrdsete alustega: ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q ja a>0 korral ebavõrdsus a p >a q .
- a p a q = a p + q;
- a p:a q = a p-q ;
- (a b) p = a p b p;
- (a:b) p =a p:b p;
- (a p) q = a p q;
- mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 kehtib võrratus a p p ja p p >b p korral;
- irratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ja a>0 korral ebavõrdsus a p >a q .
Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb astme definitsioonil murdeksponentiga, n-nda astme aritmeetilise juure omadustel ja täisarvulise astendajaga astme omadustel. Anname tõestuse.
Astme määratluse järgi murdosaastendajaga ja , siis 
. Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Lisaks, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , kust murdosalise astendajaga astme definitsiooniga saame 
, ja saadud kraadi eksponendi saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.
Murdarvuliste astendajatega astmete teine omadus tõestatakse täpselt samal viisil: 
Ülejäänud võrdsused on tõestatud sarnaste põhimõtetega: 
Pöördume järgmise vara tõendi poole. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a 0 kehtib võrratus a p p ja p p >b p korral. Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n , kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0. Kui m>0 ja am m . Sellest ebavõrdsusest juurte omaduse järgi on meil , ja kuna a ja b on positiivsed arvud, siis võib murdosaastendajaga astme definitsiooni põhjal saadud võrratuse ümber kirjutada kujule , see tähendab a p p .
Samamoodi, kui m m >b m , kust , see tähendab, ja a p > b p .
Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral ebavõrdsus a p >a q . Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, saame harilikud murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb samade nimetajatega harilike murdude võrdlemise reeglist. Seejärel 0m 1 m 2 ja a>1 korral samade aluste ja naturaaleksponentidega astmete võrdlemise omaduse järgi ebavõrdsus a m 1 >a m 2 . Need ebavõrdsused juurte omaduste osas saab vastavalt ümber kirjutada kui 
Ja 
. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab minna üle võrratuste ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0p q korral ning a>0 korral võrratus a p >a q .
Kraadide omadused irratsionaalsete astendajatega
Sellest, kuidas on määratletud irratsionaalse astendajaga aste, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised kraadide omadused irratsionaalsete astendajatega:
Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.
- Algebra - 10. klass. Trigonomeetrilised võrrandid Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendus" Lisamaterjalid Head kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõik materjalid […]
- Avatud on konkurss "MÜÜJA - KONSULTANT" ametikohale: Tööülesanded: mobiiltelefonide ja mobiilsideteenuse tarvikute müük Beeline'i, Tele2, MTS-i abonentidele Beeline'i ja Tele2 tariifiplaanide ja -teenuste ühendamine, MTS-i nõustamine […]
- Rööptahukas valemiga Rööptahukas on polühedron, millel on 6 tahku, millest igaüks on rööpkülik. Risttahukas on risttahukas, mille iga tahk on ristkülik. Iga rööptahukat iseloomustab 3 […]
- Н JA НН õigekiri ERINEVATES KÕNEOSADES 2. Nimetage nende reeglite erandid. 3. Kuidas eristada sufiksiga -n- verbaalset omadussõna osalausest, millel on […]
- BRjanski PIIRKONNA GOSTEKHNADZORI KONTROLL Riigilõivu tasumise kviitung (Allalaadimine-12,2 kb) Eraisikute registreerimistaotlused (Allalaadimine-12 kb) Juriidilise isiku registreerimistaotlused (Allalaadimine-11,4 kb) 1. Uue auto registreerimisel: 1.avaldus 2.pass […]
- Tarbijaõiguste Kaitse Ühing Astana Selle dokumendi saamiseks meie veebisaidil PIN-koodi saamiseks saatke SMS-sõnum tekstiga zan numbrile GSM-operaatorite abonendid (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) saates SMS numbrile, […]
- Võtta vastu sugulaste talude seadus. Võtta vastu föderaalseadus maatüki tasuta eraldamise kohta igale Vene Föderatsiooni kodanikule või kodanike perekonnale, kes soovib sellele Kinni kodutalu rajada järgmistel tingimustel: 1. Maa on eraldatud […]
- Pivoev V.M. Teaduse filosoofia ja metoodika: õpik magistrantidele ja magistrantidele Petroskoi: PetrGU kirjastus, 2013. - 320 lk. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]
Laadimine...
