Otsene ja pöördvõrdeline proportsioon. Otsene proportsionaalne sõltuvus

Täna vaatame, milliseid suurusi nimetatakse pöördvõrdelisteks, kuidas pöördproportsionaalsuse graafik välja näeb ja kuidas see kõik võib teile kasulik olla mitte ainult matemaatikatundides, vaid ka väljaspool kooli seinu.

Sellised erinevad proportsioonid

Proportsionaalsus nimeta kaks suurust, mis on üksteisest vastastikku sõltuvad.

Sõltuvus võib olla otsene ja vastupidine. Seetõttu kirjeldavad suuruste seos otsest ja pöördvõrdelisust.

Otsene proportsionaalsus- see on selline seos kahe suuruse vahel, kus ühe suurenemine või vähenemine toob kaasa teise suurenemise või vähenemise. Need. nende suhtumine ei muutu.

Näiteks mida rohkem pingutate eksamiteks valmistumisel, seda kõrgemad on teie hinded. Või mida rohkem asju matkale kaasa võtad, seda raskem on seljakotti kaasas kanda. Need. eksamiteks valmistumisele kuluv pingutus on otseselt võrdeline saadud hinnetega. Ja seljakotti pakitud asjade arv on otseselt võrdeline selle kaaluga.

Pöördvõrdelisus- see on funktsionaalne sõltuvus, mille puhul sõltumatu väärtuse mitmekordne vähenemine või suurenemine (seda nimetatakse argumendiks) põhjustab sõltuva väärtuse proportsionaalse (st sama palju) suurenemise või vähenemise (seda nimetatakse funktsiooniks ).

Illustreerime lihtsa näitega. Tahad turult õunu osta. Õunad letil ja raha hulk rahakotis on pöördvõrdelises seoses. Need. mida rohkem õunu ostad, seda vähem raha jääb.

Funktsioon ja selle graafik

Pöördproportsionaalsuse funktsiooni saab kirjeldada kui y = k/x. Milles x≠ 0 ja k≠ 0.

Sellel funktsioonil on järgmised omadused:

1. Selle määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Vahemik on kõik reaalarvud, välja arvatud y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Sellel ei ole maksimum- ega miinimumväärtusi.
4. On paaritu ja selle graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.
5. Mitteperioodiline.
6. Selle graafik ei ristu koordinaatide telgedega.
7. Nulle pole.
8. Kui k> 0 (see tähendab, et argument suureneb), väheneb funktsioon proportsionaalselt igal selle intervallil. Kui k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argumendi suurenedes ( k> 0) funktsiooni negatiivsed väärtused on vahemikus (-∞; 0) ja positiivsed väärtused on vahemikus (0; +∞). Kui argument väheneb ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Pöördproportsionaalsuse funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks. Kujutatud järgmiselt:

Pöördvõrdelised ülesanded

Et see oleks selgem, vaatame mõnda ülesannet. Need ei ole liiga keerulised ja nende lahendus aitab teil visualiseerida, mis on pöördproportsioon ja kuidas need teadmised teie igapäevaelus kasulikud võivad olla.

Ülesanne number 1. Auto liigub kiirusega 60 km/h. Tal kulus sihtkohta jõudmiseks 6 tundi. Kui kaua kulub tal sama vahemaa läbimiseks, kui ta liigub kaks korda kiiremini?

Alustuseks võime kirjutada üles valemi, mis kirjeldab aja, vahemaa ja kiiruse suhet: t = S/V. Nõus, see tuletab meile väga meelde pöördproportsionaalsuse funktsiooni. Ja see näitab, et aeg, mille auto teel veedab, ja kiirus, millega see liigub, on pöördvõrdelised.

Selle kontrollimiseks leiame V 2, mis tingimuse järgi on 2 korda suurem: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Seejärel arvutame kauguse valemiga S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nüüd pole raske teada saada aega t 2, mida meilt ülesande seisukorra järgi nõutakse: t 2 = 360/120 = 3 tundi.

Nagu näete, on sõiduaeg ja kiirus tõepoolest pöördvõrdelised: algsest 2 korda suurema kiirusega veedab auto teel 2 korda vähem aega.

Selle ülesande lahenduse võib kirjutada ka proportsioonina. Miks me koostame sellise diagrammi:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Nooled näitavad pöördvõrdlust. Ja nad soovitavad ka, et proportsiooni koostamisel tuleb kirje parem pool ümber pöörata: 60/120 \u003d x / 6. Kust me saame x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 tundi.

Ülesanne number 2. Töökojas töötab 6 töölist, kes tulevad etteantud töömahuga toime 4 tunniga. Kui töötajate arvu vähendada poole võrra, siis kui kaua kulub ülejäänud töötajatel sama palju tööd teha?

Kirjutame ülesande tingimused visuaalse diagrammi kujul:

↓ 6 töötajat - 4 tundi

↓ 3 töötajat - x h

Kirjutame selle proportsioonina: 6/3 = x/4. Ja me saame x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 tundi. Kui töötajaid on 2 korda vähem, kulutavad ülejäänud 2 korda rohkem aega kogu töö tegemiseks.

Ülesanne number 3. Basseini viib kaks toru. Ühe toru kaudu siseneb vesi kiirusega 2 l / s ja täidab basseini 45 minutiga. Teise toru kaudu täitub bassein 75 minutiga. Kui kiiresti vesi selle toru kaudu basseini siseneb?

Alustuseks toome kõik meile antud kogused vastavalt ülesande seisukorrale samadele mõõtühikutele. Selleks väljendame basseini täitmiskiirust liitrites minutis: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Kuna tingimusest, et bassein täidetakse teise toru kaudu aeglasemalt, tuleneb see, et vee juurdevoolu kiirus on väiksem. Pöördvõrdelise proportsiooni näol. Väljendame meile tundmatut kiirust x-iga ja koostame järgmise skeemi:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ja siis teeme proportsiooni: 120 / x \u003d 75/45, kust x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

Ülesandes on basseini täituvus väljendatud liitrites sekundis, toome oma vastuse samale kujule: 72/60 = 1,2 l/s.

Ülesanne number 4. Visiitkaarte trükitakse väikeses eratrükikojas. Trükikoja töötaja töötab kiirusega 42 visiitkaarti tunnis ja töötab täistööajaga - 8 tundi. Kui ta töötaks kiiremini ja trükiks tunnis 48 visiitkaarti, kui palju varem saaks ta koju minna?

Me läheme tõestatud viisil ja koostame skeemi vastavalt probleemi olukorrale, tähistades soovitud väärtust kui x:

↓ 42 visiitkaarti/h – 8 h

↓ 48 visiitkaarti/h – xh

Meie ees on pöördvõrdeline seos: mitu korda rohkem visiitkaarte trükikoja töötaja tunnis prindib, sama palju aega kulub tal sama töö tegemiseks. Seda teades saame määrata proportsiooni:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 tundi.

Seega, olles töö 7 tunniga valmis saanud, sai trükikoja töötaja tund aega varem koju minna.

Järeldus

Meile tundub, et need pöördproportsionaalsuse probleemid on tõesti lihtsad. Loodame, et nüüd peate ka neid nii. Ja mis kõige tähtsam, teadmised suuruste pöördvõrdelisest sõltuvusest võivad teile tõesti kasulikud olla rohkem kui üks kord.

Mitte ainult matemaatikatundides ja eksamitel. Kuid isegi siis, kui lähete reisile, ostlete, otsustate pühade ajal raha teenida jne.

Räägi meile kommentaarides, milliseid pöörd- ja otsese proportsionaalsuse näiteid enda ümber märkad. Olgu see mäng. Näete, kui põnev see on. Ärge unustage seda artiklit sotsiaalvõrgustikes "jagamast", et ka teie sõbrad ja klassikaaslased saaksid mängida.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Proportsionaalsus on suhe kahe suuruse vahel, kus ühe muutumine toob kaasa muutuse teise suuruses sama palju.

Proportsionaalsus on otsene ja pöördvõrdeline. Selles õppetükis vaatleme neid kõiki.

Otsene proportsionaalsus

Oletame, et auto liigub kiirusega 50 km/h. Peame meeles, et kiirus on ajaühikus (1 tund, 1 minut või 1 sekund) läbitud vahemaa. Meie näites liigub auto kiirusega 50 km / h, see tähendab, et ühe tunni jooksul läbib see vahemaa, mis on võrdne viiekümne kilomeetriga.

Joonistame autoga läbitud vahemaa 1 tunni jooksul.

Laske autol sõita veel tund aega sama kiirusega viiskümmend kilomeetrit tunnis. Siis selgub, et auto sõidab 100 km

Nagu näitest näha, tõi aja kahekordistamine kaasa läbitud vahemaa pikenemise sama palju, st kaks korda.

Väidetavalt on sellised kogused nagu aeg ja vahemaa otseselt proportsionaalsed. Nende suuruste vahelist seost nimetatakse otsene proportsionaalsus.

Otsene proportsionaalsus on suhe kahe suuruse vahel, milles ühe suurenemine toob kaasa teise suurenemise sama palju.

ja vastupidi, kui üks väärtus väheneb teatud arv kordi, siis teine ​​väheneb sama palju.

Oletame, et algselt oli plaanis autoga 100 km läbida 2 tunniga, kuid pärast 50 km läbimist otsustas juht pausi teha. Siis selgub, et distantsi poole võrra vähendades väheneb aeg sama palju. Teisisõnu, läbitud vahemaa vähenemine toob kaasa aja vähenemise sama teguri võrra.

Otseselt proportsionaalsete suuruste huvitav omadus on see, et nende suhe on alati konstantne. See tähendab, et otseselt proportsionaalsete suuruste väärtuste muutmisel jääb nende suhe muutumatuks.

Vaadeldavas näites oli vahemaa algul 50 km ja aeg oli üks tund. Vahemaa ja aja suhe on arv 50.

Kuid oleme suurendanud liikumisaega 2 korda, muutes selle võrdseks kahe tunniga. Selle tulemusena suurenes läbitud vahemaa sama palju, see tähendab, et see võrdub 100 km-ga. Saja kilomeetri ja kahe tunni suhe on jällegi number 50

Helistatakse numbrile 50 otsese proportsionaalsuse koefitsient. See näitab, kui palju vahemaad on liikumistunnis. Sel juhul mängib koefitsient liikumiskiiruse rolli, kuna kiirus on läbitud vahemaa ja aja suhe.

Proportsioone saab teha otseselt proportsionaalsetest kogustest. Näiteks suhted ja moodustavad proportsioonid:

Viiskümmend kilomeetrit on seotud ühe tunniga, nagu sada kilomeetrit on seotud kahe tunniga.

Näide 2. Ostetud kauba maksumus ja kogus on otseselt proportsionaalsed. Kui 1 kg maiustusi maksab 30 rubla, siis 2 kg sama maiustusi maksab 60 rubla, 3 kg - 90 rubla. Ostetud kauba maksumuse suurenemisega suureneb selle kogus sama palju.

Kuna kauba väärtus ja selle kogus on otseselt võrdelised, on nende suhe alati konstantne.

Paneme kirja suhte kolmkümmend rubla ühe kilogrammi kohta

Nüüd kirjutame üles, millega võrdub kuuekümne rubla ja kahe kilogrammi suhe. See suhe on jälle võrdne kolmekümnega:

Siin on otsese proportsionaalsuse koefitsient arv 30. See koefitsient näitab, mitu rubla ühe kilogrammi maiustuste kohta. Selles näites mängib koefitsient ühe kilogrammi kauba hinna rolli, kuna hind on kauba maksumuse ja selle koguse suhe.

Pöördvõrdelisus

Mõelge järgmisele näitele. Kahe linna vaheline kaugus on 80 km. Mootorrattur lahkus esimesest linnast ja jõudis kiirusega 20 km/h teise linna 4 tunniga.

Kui mootorratturi kiirus oli 20 km/h, tähendab see, et iga tund läbis ta kahekümne kilomeetriga võrdse vahemaa. Kujutagem joonisel mootorratturi läbitud vahemaad ja liikumisaega:

Tagasiteel oli mootorratturi kiirus 40 km/h ning samal teekonnal kulus ta 2 tundi.

On hästi näha, et kiiruse muutumisel on sama palju muutunud ka liikumisaeg. Pealegi muutus see vastupidises suunas - see tähendab, et kiirus suurenes ja aeg, vastupidi, vähenes.

Selliseid suurusi nagu kiirus ja aeg nimetatakse pöördvõrdelisteks. Nende suuruste vahelist seost nimetatakse pöördvõrdelisus.

Pöördproportsionaalsus on suhe kahe suuruse vahel, milles ühe suurenemine toob kaasa teise vähenemise sama palju.

ja vastupidi, kui üks väärtus väheneb teatud arv kordi, siis teine ​​suureneb sama palju.

Näiteks kui tagasiteel oli mootorratturi kiirus 10 km/h, siis ta läbiks sama 80 km 8 tunniga:

Nagu näitest näha, tõi kiiruse vähenemine kaasa sõiduaja pikenemise sama teguri võrra.

Pöördvõrdeliste suuruste eripära on see, et nende korrutis on alati konstantne. See tähendab, et pöördvõrdeliste suuruste väärtuste muutmisel jääb nende korrutis muutumatuks.

Vaadeldavas näites oli linnade vaheline kaugus 80 km. Mootorratturi kiirust ja aega muutes jäi see vahemaa alati muutumatuks.

Mootorrattur võiks selle distantsi läbida kiirusel 20 km/h 4 tunniga ja kiirusel 40 km/h 2 tunniga ning kiirusel 10 km/h 8 tunniga. Kõigil juhtudel oli kiiruse ja aja korrutis 80 km

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama

Sõltuvuste tüübid

Kaaluge aku laadimist. Esimese väärtusena võtame laadimiseks kuluva aja. Teine väärtus on aeg, mille jooksul see pärast laadimist töötab. Mida kauem akut laetakse, seda kauem see kestab. Protsess jätkub, kuni aku on täielikult laetud.

Aku kasutusea sõltuvus laadimisajast

Märkus 1

Seda sõltuvust nimetatakse sirge:

Kui üks väärtus suureneb, suureneb ka teine. Kui üks väärtus väheneb, väheneb ka teine ​​väärtus.

Vaatleme teist näidet.

Mida rohkem raamatuid õpilane loeb, seda vähem vigu ta dikteerimisel teeb. Või mida kõrgemale mägedesse ronite, seda madalamaks jääb atmosfäärirõhk.

Märkus 2

Seda sõltuvust nimetatakse tagurpidi:

Kui üks väärtus suureneb, siis teine ​​väheneb. Kui üks väärtus väheneb, siis teine ​​väärtus suureneb.

Seega juhul otsene sõltuvus mõlemad suurused muutuvad ühtemoodi (mõlemad kas suurenevad või vähenevad), ja juhul pöördvõrdeline seos- vastupidine (üks suureneb ja teine ​​väheneb või vastupidi).

Suuruste vaheliste sõltuvuste määramine

Näide 1

Sõbra külastamiseks kuluv aeg on $20 $ minutit. Kui kiirus suureneb (esimese väärtuse kohta) $2 $ korda, leiame, kuidas muutub aeg (teine ​​väärtus), mis kulub teel sõbra juurde.

Ilmselt väheneb aeg $2$ korda.

Märkus 3

Seda sõltuvust nimetatakse proportsionaalne:

Mitu korda muutub üks väärtus, mitu korda teine.

Näide 2

Poes 2-dollarise leivapätsi eest tuleb välja käia 80 rubla. Kui teil on vaja osta 4 dollarit leiba (leiva kogus suureneb 2 dollarit korda), kui palju peate veel maksma?

Ilmselgelt tõusevad ka kulud 2 $ korda. Meil on näide proportsionaalsest sõltuvusest.

Mõlemas näites võeti arvesse proportsionaalseid sõltuvusi. Kuid leivapätside näites muutuvad väärtused ühes suunas, seetõttu on sõltuvus sirge. Ja näites reisiga sõbra juurde on kiiruse ja aja suhe tagurpidi. Seega on olemas otseselt proportsionaalne suhe Ja pöördvõrdeline suhe.

Otsene proportsionaalsus

Mõelge 2 $ proportsionaalsetele kogustele: leivapätside arv ja nende maksumus. Maksku $2$ leivapäts 80$ rubla. Kui rullide arv suureneb 4 $ korda (8 $ rullid), on nende kogumaksumus 320 $ rubla.

Rullide arvu suhe: $\frac(8)(2)=4$.

Rulli maksumuse suhe: $\frac(320)(80)=4$.

Nagu näete, on need suhted üksteisega võrdsed:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definitsioon 1

Kahe seose võrdsust nimetatakse proportsioon.

Otseselt proportsionaalse suhte korral saadakse suhe, kui esimese ja teise väärtuse muutus on sama:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

2. definitsioon

Neid kahte suurust nimetatakse võrdeline kui neist ühe muutmisel (suurendamisel või vähendamisel) muutub (vastavalt suureneb või väheneb) teine ​​väärtus sama palju.

Näide 3

Auto läbis $2$ tunniga 180$ km. Leidke aeg, mis kulub tal 2$-kordse vahemaa läbimiseks sama kiirusega.

Lahendus.

Aeg on otseselt võrdeline vahemaaga:

$t=\frac(S)(v)$.

Mitu korda pikeneb vahemaa konstantsel kiirusel, pikeneb aeg sama palju:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Auto läbis $180$ km – ajaga $2$ tund

Auto läbib $180 \cdot 2=360 $ km - ajaga $x$ tundi

Mida pikema vahemaa auto läbib, seda rohkem aega kulub. Seetõttu on koguste vaheline seos otseselt võrdeline.

Teeme proportsiooni:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Vastus: Auto vajab 4 $ tundi.

Pöördvõrdelisus

3. määratlus

Lahendus.

Aeg on kiirusega pöördvõrdeline:

$t=\frac(S)(v)$.

Mitu korda kiirus suureneb sama teega, aeg väheneb sama palju:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Kirjutame ülesande seisukorra tabeli kujul:

Auto läbis $60$ km – ajaga $6$ tundi

Auto läbib $x$ tunniga 120$ km

Mida kiirem auto, seda vähem aega kulub. Seetõttu on suuruste suhe pöördvõrdeline.

Teeme proportsiooni.

Sest proportsionaalsus on pöördvõrdeline, teisendame teise suhte proportsionaalselt:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Vastus: Auto vajab 3 $ tundi.

Videotundide abil saate lõputult rääkida õppimise eelistest. Esiteks väljendavad nad mõtteid selgelt ja arusaadavalt, järjekindlalt ja struktureeritult. Teiseks, nad võtavad teatud kindla aja, ei ole sageli venitatud ja tüütud. Kolmandaks on need õpilastele põnevamad kui tavalised tunnid, millega nad on harjunud. Saate neid vaadata pingevabas õhkkonnas.

Paljude matemaatikakursuse ülesannete puhul puutuvad 6. klassi õpilased kokku otsese ja pöördvõrdelisusega. Enne selle teema uurimisega alustamist tasub meeles pidada, millised on proportsioonid ja milline põhiomadus neil on.

Teema "Proportsioonid" on pühendatud eelmisele videotunnile. See on loogiline jätk. Väärib märkimist, et teema on üsna oluline ja seda kohtab sageli. Sellest tuleks üks kord õigesti aru saada.

Teema olulisuse näitamiseks algab videoõpetus ülesandega. Tingimus ilmub ekraanile ja sellest teatab diktor. Andmete salvestis on antud diagrammina, et videosalvestust vaatav õpilane saaks sellest võimalikult hästi aru. Parem oleks, kui ta esimest korda sellisest salvestusvormist kinni peab.

Tundmatut, nagu enamasti kombeks, tähistatakse ladina tähega x. Selle leidmiseks peate esmalt väärtused risti korrutama. Seega saadakse kahe suhte võrdsus. See viitab sellele, et see on seotud proportsioonidega ja tasub meeles pidada nende peamist omadust. Pange tähele, et kõik väärtused on antud samas mõõtühikus. Muidu oli vaja need samasse dimensiooni viia.

Pärast videost lahendusmeetodi vaatamist ei tohiks selliste ülesannete täitmisel raskusi tekkida. Teadustaja kommenteerib iga liigutust, selgitab kõiki toiminguid, tuletab meelde kasutatud uuritud materjali.

Kohe pärast videotunni “Otse- ja pöördvõrdelised seosed” esimese osa vaatamist saate pakkuda õpilasele sama probleemi lahendamist ilma viipadeta. Pärast seda saab välja pakkuda alternatiivse ülesande.

Sõltuvalt õpilase vaimsetest võimetest saate järk-järgult suurendada järgmiste ülesannete keerukust.

Pärast esimest vaadeldavat ülesannet antakse otseselt proportsionaalsete suuruste definitsioon. Määratluse loeb ette teadustaja. Põhikontseptsioon on punasega esile tõstetud.

Järgmisena demonstreeritakse teist probleemi, mille põhjal seletatakse pöördvõrdeline seos. Kõige parem on õpilasel need mõisted vihikusse kirjutada. Vajadusel saab õpilane enne kontrolltöid hõlpsasti kõik reeglid ja definitsioonid üles leida ning uuesti läbi lugeda.

Pärast selle video vaatamist saab 6. klassi õpilane aru, kuidas teatud ülesannetes proportsioone kasutada. See on oluline teema, mida ei tohiks mingil juhul vahele jätta. Kui õpilane ei ole kohanenud tajuma õpetaja poolt tunnis esitatud materjali teiste õpilaste seas, siis on sellised õppematerjalid suureks päästeks!